Dados e , represente os números na forma polar, calculando seus módulos e ângulos com o eixo real. Determine : a) o produto .
b) o complexo conjugado do produto e o produto dos complexos conjugados.
c) a parte real do produto.
d) o produto das partes reais.
Passo 1
Temos os números complexos ψ₁=5+4i e ψ₂=4−7i. O assunto aqui é números complexos: primeira parte é representar esses números na forma polar (módulo e argumento) e depois fazer operações como produto, conjugado e extrair partes reais.
Passo 2
Para passar de forma retangular (a+bi) para polar usamos as fórmulas:
• Módulo:
• Argumento: ajustando o quadrante.
Calculando para ψ₁: e
rad (1º quadrante). Para ψ₂: e
rad (4º quadrante). Assim:
Passo 3
Para o produto podemos usar a forma polar: o módulo do produto é e o argumento é . Logo
Mas, multiplicando direto em forma retangular:
Portanto, ψ₁ψ₂=48−19i.
Passo 4
Para o conjugado vale a propriedade . Temos
ψ₁ψ₂=48-19i=48+19i₁₂
E ψ₁,ψ₂=(5-4i)(4+7i)=20+35i-16i-28i^2=48+19i₁₂
Passo 5
A parte real do produto é simplesmente o coeficiente de i⁰ em 48−19i, ou seja, Re(ψ₁ψ₂)=48. O produto das partes reais é Re(ψ₁)Re(ψ₂)=5·4=20.
Resposta
As formas polares são ψ₁=raiz41l(cos0,6747+isin0,6747r)₁ e ψ₂=raiz65l(cos(-1,0517)+isin(-1,0517)r)₂
a) ψ₁ψ₂=48-19i₁₂
b) ψ₁ψ₂=48+19i₁₂ e ψ₁,ψ₂=48+19i₁₂
c) Re(ψ₁ψ₂)=48₁₂
d) Re(ψ₁)Re(ψ₂)=20₁₂