Dados psi1=5+4 i e psi2=4-7 i, represente os números na forma polar, calculando seus módulos e ângulos com o eixo real. Determine : a) o produto psi1 psi2.
b) o complexo conjugado do produto e o produto dos complexos conjugados.
c) a parte real do produto.
d) o produto das partes reais.

Passo 1

Temos os números complexos ψ₁=5+4i e ψ₂=4−7i. O assunto aqui é números complexos: primeira parte é representar esses números na forma polar (módulo e argumento) e depois fazer operações como produto, conjugado e extrair partes reais.

Passo 2

Para passar de forma retangular (a+bi) para polar usamos as fórmulas:
• Módulo: |z|=raiza^2+b^2
• Argumento: arg(z)=arctanl(tfracbar) ajustando o quadrante.
Calculando para ψ₁: |ψ₁|=raiz5^2+4^2=raiz41 e θ₁=arctan(4/5)approx0,6747
rad (1º quadrante). Para ψ₂: |ψ₂|=raiz4^2+(-7)^2=raiz65 e θ₂=arctan(-7/4)approx-1,0517
rad (4º quadrante). Assim:
ψ₁=raiz41l(cos0,6747+isin0,6747r), ψ₂=raiz65l(cos(-1,0517)+isin(-1,0517)r)

Passo 3

Para o produto podemos usar a forma polar: o módulo do produto é r1r2 e o argumento é θ1+θ2. Logo

Mas, multiplicando direto em forma retangular:
ψ₁ψ₂=raiz41raiz65l[cos(0,6747-1,0517)+isin(0,6747-1,0517)r]=raiz2665cis(-0,3770)
Portanto, ψ₁ψ₂=48−19i.

Passo 4

Para o conjugado vale a propriedade z1z2=z1,z2. Temos
ψ₁ψ₂=48-19i=48+19i
E
ψ₁,ψ₂=(5-4i)(4+7i)=20+35i-16i-28i^2=48+19i

Passo 5

A parte real do produto é simplesmente o coeficiente de i⁰ em 48−19i, ou seja, Re(ψ₁ψ₂)=48. O produto das partes reais é Re(ψ₁)Re(ψ₂)=5·4=20.

Resposta

As formas polares são
ψ₁=raiz41l(cos0,6747+isin0,6747r) e ψ₂=raiz65l(cos(-1,0517)+isin(-1,0517)r)
a) ψ₁ψ₂=48-19i
b) ψ₁ψ₂=48+19i e ψ₁,ψ₂=48+19i
c) Re(ψ₁ψ₂)=48
d) Re(ψ₁)Re(ψ₂)=20

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