13 Determie a menor distância do ponto P=(2,1,-1) ao plano 4 x-3 y+z=5.

Passo 1

A questão pede a menor distância do ponto P =(2,1,-1) a um plano, o que cai no conteúdo de geometria analítica: distância ponto-plano. Vamos usar a fórmula que expressa essa distância em função dos coeficientes do plano e das coordenadas do ponto.

Passo 2

Primeiro, colocamos a equação do plano na forma geral ax + by + cz + d = 0. A equação dada é
4x - 3y + z = 5
subtraindo 5 de ambos os lados, temos
4x - 3y + z - 5 = 0
Então identificamos:
.

Passo 3

A fórmula da distância de um ponto (x0,y0,z0) ao plano ax+by+cz+d=0 é dada por
extdist = |a x0 + b y0 + c z0 + d| raiza^2 + b^2 + c^2
Aqui, (x0,y0,z0) = (2,1,-1).

Passo 4

Agora calculamos o numerador:
|a x0 + b y0 + c z0 + d| = |4cdot 2 + (-3)cdot 1 + 1cdot(-1) + (-5)| = |8 - 3 - 1 - 5| = | -1 | = 1

Passo 5

Em seguida, calculamos o denominador:
raiza^2 + b^2 + c^2 = raiz4^2 + (-3)^2 + 1^2 = raiz16 + 9 + 1 = raiz26

Passo 6

Por fim, substituímos numerador e denominador na fórmula da distância:
extdist = 1raiz26

Resposta

1raiz26

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