Determine os valores de máximos e mínimos absolutos de f no conjunto D.
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Passo 1

Estamos lidando com a função f(x,y)=2x^3+4y^2 definida no disco fechado D=(x,y)mid x^2+y^2<=1. O conteúdo é extremação de funções de duas variáveis em domínio compacto, e vamos precisar achar pontos críticos no interior (onde nabla f=0) e analisar a fronteira x^2+y^2=1, por exemplo usando multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Calculemos primeiro os pontos críticos no interior de D. O gradiente é
nabla f=(fx,fy)=(6x^2,8y)
Para interior, impomos
6x^2=0,
8y=0
o que dá x=0 e y=0. Logo o único ponto crítico interior é (0,0), e ali
f(0,0)=2cdot0^3+4cdot0^2=0

Passo 3

Agora analisamos a fronteira x^2+y^2=1 com multiplicadores de Lagrange. Definimos
L(x,y,lambda)=2x^3+4y^2-lambda(x^2+y^2-1)
As condições são:
6x^2-2lambda x=0, 8y-2lambda y=0, x^2+y^2=1
Do primeiro vem 2x(3x-lambda)=0, do segundo 2y(4-lambda)=0.
Analisando casos:
  • Se x=0, então y^2=1 e y=pm1, com f(0,pm1)=4.
  • Se y=0, então x^2=1 e x=pm1, com f(pm1,0)=2(pm1)^3=pm2.
  • A outra possibilidade lambda=4 e 3x=lambda leva a x=4/3, não compatível com x^2+y^2=1.
    Logo os pontos da fronteira são (0,1),(0,-1),(1,0),(-1,0) com valores de 4,4,2,-2 respectivamente.

Passo 4

Comparando todos os candidatos — interior (0,0) com valor 0 e pontos de fronteira com valores 4,4,2,-2 — vemos que o menor valor é -2 em (-1,0) e o maior é 4 nos pontos (0,1) e (0,-1).

Resposta

Mínimo absoluto = -2 em (-1,0); Máximo absoluto = 4 em (0,1) e (0,-1)

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