Determine os valores de máximos e mínimos absolutos de no conjunto . .
Passo 1
Estamos lidando com a função definida no disco fechado . O conteúdo é extremação de funções de duas variáveis em domínio compacto, e vamos precisar achar pontos críticos no interior (onde ) e analisar a fronteira , por exemplo usando multiplicadores de Lagrange.
Passo 2
Calculemos primeiro os pontos críticos no interior de . O gradiente é
Para interior, impomos
o que dá e . Logo o único ponto crítico interior é , e ali
Passo 3
Agora analisamos a fronteira com multiplicadores de Lagrange. Definimos
As condições são:
Do primeiro vem 2x(3x-lambda)=0, do segundo 2y(4-lambda)=0.
Analisando casos:
Se x=0, então y^2=1 e y=pm1, com f(0,pm1)=4.
Se y=0, então x^2=1 e x=pm1, com f(pm1,0)=2(pm1)^3=pm2.
A outra possibilidade lambda=4 e 3x=lambda leva a x=4/3, não compatível com x^2+y^2=1.
Logo os pontos da fronteira são (0,1),(0,-1),(1,0),(-1,0) com valores de 4,4,2,-2 respectivamente.
Passo 4
Comparando todos os candidatos — interior (0,0) com valor 0 e pontos de fronteira com valores 4,4,2,-2 — vemos que o menor valor é -2 em (-1,0) e o maior é 4 nos pontos (0,1) e (0,-1).
Resposta
Mínimo absoluto = -2 em (-1,0); Máximo absoluto = 4 em (0,1) e (0,-1)