Calcule as integrais abaixo usando o método da substituição. Derive para verificar a solução.
integral ln x^2x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral ln x^2x ,dx usando o método da substituição. O conteúdo envolve integrar uma função do tipo f(ln x^2) e vamos precisar reconhecer que a derivada de ln x^2 é proporcional a 1/x.

Passo 2

A ideia é definir u=ln x^2. Então calculamos du:
du = 2,dxx
Logo podemos escrever
dxx=du2

Passo 3

Substituindo no integral original, temos:
integral ln x^2x,dx = integral ucdot du2 = 12integral u,du = 14u^2 + C
Voltando para x, com u=ln x^2, obtemos
F(x)=14(ln x^2)^2 + C

Passo 4

Para verificar, derivamos F(x):
Derivando em relação a x:
F'(x)=14cdot 2ln x^2cdot ddx(ln x^2).
Como ddx(ln x^2)=2cdot1x, fica
F'(x)=14cdot 2ln x^2cdot 2x=ln x^2x,
que é exatamente o integrando. Assim, a solução está conferida.

Resposta

14(ln x^2)^2 + C

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