Calcule os seguintes limites
lim (x, y) (2,-1) x^3+2 x^2 y-x y-2 y^2x+2 y

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite de uma função polinomial de duas variáveis quando (x,y) tende a (2,-1): vamos obter lim(x,y)to(2,-1) x^3+2x^2y - x y - 2y^2x + 2y. O conteúdo é limite em 0/0 e usaremos fatoração algébrica para simplificar.

Passo 2

Primeiro teste a substituição direta:
  • No denominador: x + 2y = 2 + 2(-1) = 0.
  • No numerador: 2^3 + 2cdot2^2(-1) - 2(-1) - 2(-1)^2 = 8 - 8 + 2 - 2 = 0.
    Portanto temos forma indeterminada 0/0 e precisamos manipular algébrica.

Passo 3

Podemos fatorar o numerador por agrupamento. Observe:
x^3 + 2x^2y - x y - 2y^2 = x^2(x+2y) - y(x+2y) = (x^2 - y)(x+2y)

Passo 4

Então a expressão original se simplifica cancelando o fator (x+2y):
x^3+2x^2y - x y - 2y^2x + 2y = x^2 - y,

Passo 5

Agora x^2 - y é uma função contínua em todas as variáveis, então podemos apenas substituir (x,y)=(2,-1):
2^2 - (-1) = 4 + 1 = 5

Resposta

5

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