13 Determine o limite infinito.
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Passo 1
Estamos querendo calcular limites que envolvem comportamento “assintótico” de funções racionais, exponenciais e trigonométricas quando o argumento se aproxima de um ponto onde o denominador ou o interior de um logaritmo se anula. Vamos usar análise de sinal e o fato de que, quando o denominador tende a zero, a fração tende a
. Também usaremos que
quando
, e que
e
.
Passo 2
Para
note que, se
, então
é um número muito pequeno quando
. Logo
Passo 3
Para
temos
e
muito próximo de zero, de modo que
Passo 4
Para
note que
é sempre positivo e tende a
, enquanto
. Assim
Passo 5
Para
temos
e
é negativo muito pequeno (pois
e é elevado ao cubo), de modo que
Passo 6
Para
avaliamos o sinal: quando
,
;
; e
. Logo o denominador é positivo vezes positivo pequeno
, e o numerador é negativo, resultando em
Passo 7
Para
sabemos que
quando
. Portanto
Passo 8
Para
quando
,
. Assim
Passo 9
Para
temos
, e
conforme
. Logo