13 Determine o limite infinito.
25. lim x 5^+ 6x-5 26. lim x 5^- 6x-5
27. lim x 1 2-x(x-1)^2 28. lim x 5^- e^x(x-5)^3
29. lim x -2^+ x-1x^2(x+2)
30. lim x pi^- cossec x
31. lim x (-pi / 2)^- sec x
32. lim x 5^+ ln (x-5)

Passo 1

Estamos querendo calcular limites que envolvem comportamento “assintótico” de funções racionais, exponenciais e trigonométricas quando o argumento se aproxima de um ponto onde o denominador ou o interior de um logaritmo se anula. Vamos usar análise de sinal e o fato de que, quando o denominador tende a zero, a fração tende a pminfty. Também usaremos que ln(t)to-infty quando tto0^+, e que csc(x)=1/sin(x) e sec(x)=1/cos(x).

Passo 2

Para
limxto5^+6x-5,
note que, se x>5, então x-5>0 é um número muito pequeno quando xto5^+. Logo
6x-5to+infty

Passo 3

Para
limxto5^-6x-5,
temos x<5 e x-5<0 muito próximo de zero, de modo que
6x-5to-infty

Passo 4

Para
limxto12-x(x-1)^2,
note que (x-1)^2 é sempre positivo e tende a 0, enquanto 2-xto2-1=1>0. Assim
2-x(x-1)^2to+infty

Passo 5

Para
limxto5^-e^x(x-5)^3,
temos e^xto e^5>0 e (x-5)^3 é negativo muito pequeno (pois x-5<0 e é elevado ao cubo), de modo que
e^x(x-5)^3to-infty

Passo 6

Para
limxto-2^+x-1x^2(x+2),
avaliamos o sinal: quando xto-2^+, x-1to-3<0; x^2to4>0; e x+2to0^+. Logo o denominador é positivo vezes positivo pequeno to0^+, e o numerador é negativo, resultando em
x-1x^2(x+2)to-infty

Passo 7

Para
limxtopi^-csc x = limxtopi^-1sin x,
sabemos que sin xto0^+ quando xtopi^-. Portanto
1sin xto+infty

Passo 8

Para
limxto(-pi/2)^-sec x = limxto(-pi/2)^-1cos x,
quando xto-pi2^-, cos xto0^-. Assim
1cos xto-infty

Passo 9

Para
limxto5^+ln(x-5),
temos x-5to0^+, e ln(t)to-infty conforme tto0^+. Logo
ln(x-5)to-infty

Resposta

  1. +infty
  2. -infty
  3. +infty
  4. -infty
  5. -infty
  6. +infty
  7. -infty
  8. -infty

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