Calcule d zd t nos seguintes casos:
z=y e^x+x e^y ; x=t e y=sen t

Passo 1

O enunciado define uma função de duas variáveis
z(x,y)=y,e^x + x,e^y
com as parametrizações x(t)=t e y(t)=sin t. O conteúdo é a aplicação da regra da cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de z(x,y):
partial zpartial x = y,e^x + e^y, partial zpartial y = e^x + x,e^y

Passo 3

Derivadas de x(t) e y(t):
dxdt=1, dydt=cos t

Passo 4

Pela regra da cadeia,
dzdt = partial zpartial x,dxdt + partial zpartial y,dydt = (y,e^x + e^y)cdot1 + (e^x + x,e^y)cdotcos t

Passo 5

Finalmente, substituindo x=t e y=sin t, obtemos
dzdt = (sin t),e^t + e^sin t + l(e^t + t,e^sin tr)cos t

Resposta

dzdt = sin t,e^t + e^sin t + l(e^t + t,e^sin tr)cos t

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