2- Use o limite lim x 0 sen alphaalpha=1, para calcular L=lim x-pi4(21 cdot sen(4 x-pi)28 x-7 pi)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o limite:
L = limx to pi4 ( 21 cdot sin(4x - pi)28x - 7pi )
Aqui, estamos trabalhando com limites e funções trigonométricas, especificamente com o limite conhecido:
limalpha to 0 sin alphaalpha = 1
Para resolver isso, vamos usar esse limite conhecido e fazer algumas manipulações para chegar à resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que acontece quando x se aproxima de pi4 . Vamos analisar o argumento da função seno e o denominador:
  • Argumento do seno: 4x - pi
  • Denominador: 28x - 7pi
Quando x to pi4 :
  • 4x - pi to 4 cdot pi4 - pi = pi - pi = 0
  • 28x - 7pi to 28 cdot pi4 - 7pi = 7pi - 7pi = 0
Então, tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero, o que sugere que podemos aplicar o limite sin alphaalpha = 1 .

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Seja:
alpha = 4x - pi
Quando x to pi4 , então alpha to 0 .
Reescrevendo o denominador em termos de alpha :
28x - 7pi = 28 cdot ( alpha + pi4 ) - 7pi = 7(alpha + pi) - 7pi = 7alpha

Passo 4

Agora, substituímos alpha na expressão original:
L = limalpha to 0 ( 21 cdot sin alpha7alpha )
Podemos simplificar essa fração:
L = 3 cdot limalpha to 0 ( sin alphaalpha )

Passo 5

Sabemos que:
limalpha to 0 sin alphaalpha = 1
Portanto:
L = 3 cdot 1 = 3

Resposta

O limite L vale 3.

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