Ex. 6. Achar os pontos de descontinuidade das funções:
f(x, y)=1(x-y)^2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos de descontinuidade da função de duas variáveis
f(x,y)=1(x-y)^2
O conteúdo aqui é continuidade de funções de várias variáveis; vamos precisar lembrar que operações algébricas (soma, subtração, potência e recíproco) preservam continuidade desde que não se avalie em pontos que tornem o denominador zero.

Passo 2

Primeiro identificamos o domínio natural de . Como há um denominador , temos que
ou seja,

Passo 3

Em todo ponto com , a expressão é um número positivo e o recíproco é bem definido. Como soma, subtração, potência e recíproco são operações contínuas em seus domínios, a composição
mostra que é contínua em cada ponto de .

Passo 4

Nos pontos em que x-y=0, a função não está nem definida, pois o denominador seria zero. Em análise de continuidade, toda vez que uma função não está definida num ponto que pertence ao fecho do domínio, dizemos que ali há descontinuidade (no caso, singularidade essencial).

Resposta

Os pontos de descontinuidade de f são exatamente todos os (x,y) que satisfazem
x=y,
isto é, a reta (x,x)mid xinR no plano.

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