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Determine se os polinômios dados geram P2^+
ll p1=1-x+2 x^2, & p2=3+x p1=5-x+4 x^2, & p4=-2-2 x+2 x^2

Passo 1

O enunciado dá quatro polinômios
p1=1 - x + 2x^2,
p2=3 + x,
p3=5 - x + 4x^2
e
p4=-2 - 2x + 2x^2,
e pede para verificar se eles geram o espaço P2^+ (polinômios de grau até 2). Para isso precisaremos comparar a dimensão de P2^+ com o posto da família.

Passo 2

Sabemos que diml(P2^+r)=3. Logo, para que os quatro polinômios gerem esse espaço, a família p1, p2, p3, p4 deve ter posto igual a 3 (isto é, conter três vetores linearmente independentes).

Passo 3

Escolhemos a base canônica 1,x,x^2 e escrevemos cada pi como vetor de coeficientes:
v1=(1,,-1,,2), v2=(3,,1,,0), v3=(5,,-1,,4), v4=(-2,,-2,,2)
Formamos a matriz 3times4 cujas colunas são v1,v2,v3,v4.

Passo 4

Bastam três colunas para testar independência. Calculando qualquer menor de ordem 3 (por exemplo, das colunas ) obtemos determinante zero. O mesmo ocorre para todos os outros menores de ordem 3, logo
Isso significa que a família não alcança dimensão 3 e, portanto, não gera todo .

Resposta

Os polinômios não geram P2^+, pois o posto da família é 2, menor que dim(P2^+)=3.

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