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Determine se os polinômios dados geram
Determine se os polinômios dados geram
Passo 1
O enunciado dá quatro polinômios
,
,
e
,
e pede para verificar se eles geram o espaço (polinômios de grau até 2). Para isso precisaremos comparar a dimensão de
com o posto da família.
e
e pede para verificar se eles geram o espaço
Passo 2
Sabemos que
. Logo, para que os quatro polinômios gerem esse espaço, a família
deve ter posto igual a 3 (isto é, conter três vetores linearmente independentes).
Passo 3
Escolhemos a base canônica
e escrevemos cada
como vetor de coeficientes:
Formamos a matriz
cujas colunas são
.
Passo 4
Bastam três colunas para testar independência. Calculando qualquer menor de ordem 3 (por exemplo, das colunas
) obtemos determinante zero. O mesmo ocorre para todos os outros menores de ordem 3, logo
Isso significa que a família não alcança dimensão 3 e, portanto, não gera todo
.
Resposta
Os polinômios não geram
, pois o posto da família é 2, menor que
.