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Use o Teorema 4.2.1 para determinar quais dos seguintes sâo subespaços de P K
(a) Todos os polinômios a0+a1 x+a2 x^2+a3 x^3 com a0=0.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
S = l,a0+a1x+a2x^2+a3x^3in PKmid a0=0r
é um subespaço de PK. Pelo Teorema 4.2.1, precisamos checar três propriedades: (i) S não é vazio, (ii) é fechado sob adição e (iii) é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero de PK está em S. O polinômio zero é
0 = 0 + 0x + 0x^2 + 0x^3,
cujo coeficiente constante a0=0. Logo, 0in S, e S não é vazio.

Passo 3

Fechamento sob adição: sejam
p(x)=0 + a1x + a2x^2+a3x^3 e q(x)=0 + b1x + b2x^2+b3x^3
em S. Então
p(x)+q(x) = (0+0) + (a1+b1)x + (a2+b2)x^2 + (a3+b3)x^3
O coeficiente constante continua sendo 0+0=0, logo p+qin S.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação por escalar: seja lambdain K e
p(x)=0 + a1x + a2x^2+a3x^3
em S. Então
lambda,p(x) = (lambdacdot 0) + (lambda a1)x + (lambda a2)x^2 + (lambda a3)x^3,
e como lambdacdot0=0, temos lambda pin S.

Resposta

S é subespaço de PK.

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