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Use o Teorema 4.2.1 para determinar quais dos seguintes sâo subespaços de
(a) Todos os polinômios
com
.
Use o Teorema 4.2.1 para determinar quais dos seguintes sâo subespaços de
(a) Todos os polinômios
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
é um subespaço de
. Pelo Teorema 4.2.1, precisamos checar três propriedades: (i)
não é vazio, (ii) é fechado sob adição e (iii) é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos se o vetor zero de
está em
. O polinômio zero é
cujo coeficiente constante
. Logo,
, e
não é vazio.
Passo 3
Fechamento sob adição: sejam
em
. Então
O coeficiente constante continua sendo
, logo
.
Passo 4
Fechamento sob multiplicação por escalar: seja
e
em
. Então
e como
, temos
.