Sejam as matrizes
A=[cc 1 & -3 2 & 1 ] e B=[ccc 2 & 3 & -1 -1 & -1 & 0 ]
Calcule (A B)^t e B^t A^t. Verifique que o resultado é o mesmo.

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes
A = 1 & -3 2 & 1 e B = 2 & 3 & -1 -1 & -1 & 0
e pede para calcular (Acdot B)^t e B^tcdot A^t, verificando que são iguais. O conteúdo aqui é a propriedade da transposta de um produto:
(A,B)^t = B^t,A^t
Para isso, vamos primeiro multiplicar A e B, depois transpor; em seguida, calcular as transpostas separadas e multiplicar.

Passo 2

Calcular o produto Acdot B. Usando a definição de multiplicação de matrizes, obtemos
A,B = 1cdot2 + (-3)cdot(-1) & 1cdot3 + (-3)cdot(-1) & 1cdot(-1) + (-3)cdot0 2cdot2 + 1cdot(-1) & 2cdot3 + 1cdot(-1) & 2cdot(-1) + 1cdot0 = 5 & 6 & -1 3 & 5 & -2

Passo 3

Transpor o resultado de A,B. Temos
(A,B)^t = 5 & 6 & -1 3 & 5 & -2 ^t = 5 & 3 6 & 5 -1 & -2

Passo 4

Calcular separadamente B^t e A^t e em seguida o produto B^tA^t.
B^t = 2 & 3 & -1 -1 & -1 & 0 ^t = 2 & -1 3 & -1 -1 & 0 , A^t = 1 & -3 2 & 1 ^t = 1 & 2 -3 & 1
Agora
B^t,A^t = 2 & -1 3 & -1 -1 & 0 1 & 2 -3 & 1 = 2cdot1 + (-1)cdot(-3) & 2cdot2 + (-1)cdot1 3cdot1 + (-1)cdot(-3) & 3cdot2 + (-1)cdot1 (-1)cdot1 + 0cdot(-3) & (-1)cdot2 + 0cdot1 = 5 & 3 6 & 5 -1 & -2

Passo 5

Comparando os dois resultados, vemos que
(A,B)^t = 5 & 3 6 & 5 -1 & -2 e B^t,A^t = 5 & 3 6 & 5 -1 & -2 ,
logo confirmamos que (A,B)^t = B^t,A^t.

Resposta

(A,B)^t ;=; B^t,A^t ;=; 5 & 3 6 & 5 -1 & -2

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