Determine se o espaço soluçĩo do sistema é uma reta pela origem, um plano pela origem ou somente a origem. Se for um plano, obtenha uma equação desse plano; se for uma reta, obtenha equações paramétricas dessa reta.
(f)
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema homogêneo com
e pede para decidir se o espaço solução é uma reta pela origem, um plano pela origem ou somente a origem. Para isso vamos usar o Teorema do Posto e da Dimensão, que diz
onde é o número de colunas de . A partir de concluímos a forma do espaço solução.
Passo 2
Observamos que a segunda linha de é vezes a primeira e a terceira é vezes a primeira. Logo todas as linhas são múltiplos de , de modo que
Como , temos
Isso significa que o espaço solução é um plano que passa pela origem.
Passo 3
A equação cartesiana desse plano vem da relação linear independente entre x1,x2,x3, dada pela primeira linha de A:
x1 - 3x2 + x3 = 0
Passo 4
Para uma descrição paramétrica, seja x2 = s e x3 = t. Da equação x1 - 3s + t = 0 segue