Determine se o espaço soluçĩo do sistema A x=0 é uma reta pela origem, um plano pela origem ou somente a origem. Se for um plano, obtenha uma equação desse plano; se for uma reta, obtenha equações paramétricas dessa reta.
(f) A=[lll1 & -3 & 1 2 & -6 & 2 3 & -9 & 3]

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema homogêneo com
e pede para decidir se o espaço solução é uma reta pela origem, um plano pela origem ou somente a origem. Para isso vamos usar o Teorema do Posto e da Dimensão, que diz
onde é o número de colunas de . A partir de concluímos a forma do espaço solução.

Passo 2

Observamos que a segunda linha de é vezes a primeira e a terceira é vezes a primeira. Logo todas as linhas são múltiplos de , de modo que
Como , temos
Isso significa que o espaço solução é um plano que passa pela origem.

Passo 3

A equação cartesiana desse plano vem da relação linear independente entre x1,x2,x3, dada pela primeira linha de A:
x1 - 3x2 + x3 = 0

Passo 4

Para uma descrição paramétrica, seja x2 = s e x3 = t. Da equação x1 - 3s + t = 0 segue
x1 = 3s - t
Portanto
(x1,x2,x3) = (3s - t,,s,,t) = s,(3,1,0) ;+; t,(-1,0,1), s,tinR

Resposta

O espaço solução de Ax=0 é um plano pela origem com equação
x1 - 3x2 + x3 = 0
Uma parametrização desse plano é
(x1,x2,x3) = s,(3,1,0) + t,(-1,0,1), s,tinR

Exercícios relacionados