1.13 Encontre o ângulo entre as curvas a(t)=(sen t, cos t-
1, cos t+1) e b(s)=(s, s, s+2) nos pontos de interseção.

Passo 1

A questão pede o ângulo entre as curvas a(t)=(sen t, cos t−1, cos t+1) e b(s)=(s, s, s+2) nos pontos onde elas se cruzam. Vamos usar derivadas para obter os vetores tangentes e a fórmula do ângulo entre vetores via produto escalar.

Passo 2

Igualando a curva a(t) à curva b(s), temos as equações em t e s:
sin t = s,
cos t - 1 = s,
cos t + 1 = s + 2

Passo 3

Das duas últimas vem cos t = s + 1. Como sin^2 t + cos^2 t = 1, substituímos s e obtemos
s^2 + (s+1)^2 = 1 implies 2s^2 + 2s = 0 implies s(s+1)=0,
logo s=0 ou s=-1. Para s=0 temos t=0 e ponto P₁=(0,0,2). Para s=-1 temos t=3pi/2 e ponto P₂=(−1,−1,1).

Passo 4

O ângulo entre duas curvas é o ângulo entre seus vetores tangentes. Sejam
v = a'(t), w = b'(s), então
costheta = vcdot w|v|,|w|

Passo 5

Derivando as curvas obtemos
a'(t) = (cos t,,-sin t,,-sin t), b'(s) = (1,1,1)

Passo 6

No ponto P₁ (t=0, s=0) temos
a'(0)=(1,0,0), b'(0)=(1,1,1) O produto escalar é 1, |a'(0)|=1, |b'(0)|=raiz3, logo
costheta1 = 11cdotraiz3 = 1raiz3, ou seja theta1 = arccos(1/raiz3).

Passo 7

No ponto P₂ (t=3\pi/2, s=-1) temos
a'(3pi/2)=(0,1,1), b'(-1)=(1,1,1) O produto escalar é 2, |a'(3pi/2)|=raiz2, |b'(-1)|=raiz3, logo
costheta2 = 2raiz2,raiz3 = 2raiz6 = raiz63, ou seja theta2 = arccos(raiz6/3).

Resposta

Nos pontos de interseção temos:
– Em (0,0,2): theta = arccosl(1/raiz3r).
– Em (−1,−1,1): theta = arccosl(raiz6/3r).

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