1.13 Encontre o ângulo entre as curvas
e
nos pontos de interseção.
Passo 1
A questão pede o ângulo entre as curvas a(t)=(sen t, cos t−1, cos t+1) e b(s)=(s, s, s+2) nos pontos onde elas se cruzam. Vamos usar derivadas para obter os vetores tangentes e a fórmula do ângulo entre vetores via produto escalar.
Passo 2
Igualando a curva a(t) à curva b(s), temos as equações em t e s:
Passo 3
Das duas últimas vem
. Como
, substituímos
e obtemos
logo
Passo 4
O ângulo entre duas curvas é o ângulo entre seus vetores tangentes. Sejam
Passo 5
Derivando as curvas obtemos
Passo 6
No ponto P₁ (t=0, s=0) temos
Passo 7
No ponto P₂ (t=3\pi/2, s=-1) temos
Resposta
Nos pontos de interseção temos:
– Em (0,0,2): .
– Em (−1,−1,1): .
– Em (0,0,2):
– Em (−1,−1,1):