Determine o fluxo dos campos vetoriais dados abaixo, através do quadrado de lado 2 centrado na origem:
F=x y^3 i+x y j

Passo 1

O enunciado pede para calcular o fluxo do campo vetorial vec F = x y^3,i + x y,j através do contorno do quadrado de lado 2 centrado na origem. O conteúdo utilizado será o Teorema de Green para fluxo no plano, que relaciona o fluxo na fronteira à integral dupla da divergência sobre a região interna.

Passo 2

Pelo Teorema de Green, o fluxo Phi é dado por ointpartial D vec F cdot n,ds = integral duplaD l(nablacdotvec Fr),dA. Primeiro calculamos a divergência:
nablacdotvec F = partialpartial x(x y^3) + partialpartial y(x y) = y^3 + x
Agora aplicamos a integral dupla sobre D = (x,y):-1<= x<=1,,-1<= y<=1:
Phi = integral duplaD (y^3 + x),dA = integral duplaD y^3,dA + integral duplaD x,dA
Como y^3 é ímpar em y e x é ímpar em x, cada uma dessas integrais sobre o intervalo simétrico [-1,1]times[-1,1] vale zero.

Passo 3

Portanto, o fluxo total através do quadrado é zero.

Resposta

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