2.7 Responda:
(a) Considere a função f(x, y)=x y-yx^2-x+2 x y-2 y. Existe lim (x, y) (1,2) f(x, y) ? Qual seu valor?
Solução: Temos
lim (x, y) (1,2) f(x, y) & =lim (x, y) (1,2) x y-yx^2-x+2 x y-2 y & =lim (x, y) (1,2) (x-1) y(x-1)(x+2 y) & =lim (x, y) (1,2) yx+2 y & =25
Portanto, o limite existe e é igual a 25.
(b) É possível dar um valor a f(1,2) de modo que f seja contínua em (1,2) ? Justifique.
Solução: Sim, é possível, pois para que f seja contínua no ponto (1,2), basta definir
f(1,2)=lim (x, y) (1,2) f(x, y)=25

Passo 1

Enunciado: calcular lim(x,y)to(1,2) f(x,y)=xy - yx^2 - x + 2xy - 2y e verificar se, atribuindo um valor apropriado a f(1,2), a função fica contínua em (1,2). O conteúdo envolve limites de funções de duas variáveis e definição de continuidade; vamos usar fatoração e simplificação.

Passo 2

Observe que tanto o numerador quanto o denominador têm o fator (x-1). Fatorando o numerador: xy - y = y(x - 1). No denominador, agrupe termos para fatorar:
x^2 - x + 2xy - 2y = (x^2 - x) + 2y(x - 1) = (x-1)(x + 2y)

Passo 3

Para (x,y)neq(1,2) (e, em particular, xneq1), podemos cancelar o fator (x-1) e obter a função simplificada
$$g(x,y)=\frac{y}{x+2y}.
$$

Passo 4

Como g(x,y) é contínua em (1,2), o limite de f é dado por
$$\lim_{(x,y)\to(1,2)}f(x,y)=g(1,2)=\frac{2}{1+4}=\frac{2}{5}.
$$

Passo 5

Para que f seja contínua em (1,2), basta definir o valor de f(1,2) igual ao limite encontrado. Assim, definindo f(1,2)=tfrac25, a função fica contínua naquele ponto.

Resposta

(a) lim(x,y)to(1,2)f(x,y)=tfrac25 (b) Sim. Definindo f(1,2)=tfrac25, a função torna-se contínua em (1,2).

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