2.7 Responda:
(a) Considere a função
. Existe
? Qual seu valor?
Solução: Temos
Portanto, o limite existe e é igual a
.
(b) É possível dar um valor a
de modo que
seja contínua em
? Justifique.
Solução: Sim, é possível, pois para que
seja contínua no ponto (1,2), basta definir
(a) Considere a função
(b) É possível dar um valor a
Passo 1
Enunciado: calcular
e verificar se, atribuindo um valor apropriado a
, a função fica contínua em
. O conteúdo envolve limites de funções de duas variáveis e definição de continuidade; vamos usar fatoração e simplificação.
Passo 2
Observe que tanto o numerador quanto o denominador têm o fator
. Fatorando o numerador:
. No denominador, agrupe termos para fatorar:
Passo 3
Para
(e, em particular,
), podemos cancelar o fator
e obter a função simplificada
$$g(x,y)=\frac{y}{x+2y}.
$$
Passo 4
Como
é contínua em
, o limite de
é dado por
$$\lim_{(x,y)\to(1,2)}f(x,y)=g(1,2)=\frac{2}{1+4}=\frac{2}{5}.
$$
Passo 5
Para que
seja contínua em
, basta definir o valor de
igual ao limite encontrado. Assim, definindo
, a função fica contínua naquele ponto.
Resposta
(a)
(b) Sim. Definindo
, a função torna-se contínua em
.