Calcular $ \int_{C} \vec{F}$.d $ \vec{r}$ :
integralC F e r é a curva de parametrização F=(x y z, 0,0).

Passo 1

Temos que calcular a integral de linha integralC Fcdot d r para o campo F=(x y z,0,0) e a curva parametrizada por r(t)=(cos t,sin t,cos tsin t), tin[0,tfracpi2]. O conteúdo é integral de linha de campo vetorial e vamos precisar da parametrização, da expressão de F( r(t)) e de r'(t).

Passo 2

A curva C é dada por r(t)=(cos t,sin t,cos tsin t). Calculamos a derivada componente a componente:
r'(t)=l(-sin t,;cos t,;tfracddt(cos tsin t)r)
onde
ddt(cos tsin t)=-sin^2 t+cos^2 t=cos(2t)
Logo,
r'(t)=l(-sin t,;cos t,;cos2tr)

Passo 3

Substituímos na expressão do campo:
F( r(t))=l(cos tcdotsin tcdot(cos tsin t),;0,;0r)=l(cos^2 t,sin^2 t,;0,;0r)

Passo 4

O produto escalar fica
F( r(t))cdot r'(t) =cos^2 t,sin^2 tcdot(-sin t) =-cos^2 t,sin^3 t
Portanto a integral é
integral0^pi/2-cos^2 t,sin^3 t,dt

Passo 5

Para resolver usamos a substituição u=cos t, du=-sin t,dt, e sin^2 t=1-u^2. Temos
integral0^pi/2-cos^2 t,sin^3 t,dt =integral1^0(u^2-u^4),du =-integral0^1(u^2-u^4),du =-l[u^33-u^55r]0^1 =-l(13-15r) =-215

Resposta

-2/15

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