Questão 3:
Mostre que vale a identidade dada com vetores de qualquer espaço com produto interno.
Mostre que vale a identidade dada com vetores de qualquer espaço com produto interno.
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar, em um espaço vetorial qualquer dotado de produto interno
e norma induzida
, a identidade
Vamos usar a definição de norma em termos do produto interno e as propriedades de linearidade e simetria (ou conjugado-simetria) do produto interno.
Passo 2
Calculemos primeiro
. Usando a definição:
Como
e
, temos
Passo 3
Agora calculemos
. Similarmente:
ou seja
Passo 4
Somando as duas expressões:
Os termos envolvendo
se cancelam, restando
Passo 5
Concluímos que, em qualquer espaço com produto interno, vale a identidade proposta.