Questão 3:
Mostre que vale a identidade dada com vetores de qualquer espaço com produto interno.
||\mathrm{u}-\mathrm{v}||^{2}+||\mathrm{u}+\mathrm{v}||^{2}=2||\mathrm{u}||^{2}+2||\mathrm{v}||^{2}

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar, em um espaço vetorial qualquer dotado de produto interno \langle\cdot,\cdot\rangle e norma induzida \|w\|^{2}=\langle w,w\rangle, a identidade
\|u - v\|^{2} + \|u + v\|^{2} \;=\; 2\,\|u\|^{2} + 2\,\|v\|^{2}.
Vamos usar a definição de norma em termos do produto interno e as propriedades de linearidade e simetria (ou conjugado-simetria) do produto interno.

Passo 2

Calculemos primeiro \|u - v\|^{2}. Usando a definição:
\|u - v\|^{2} = \langle u - v,\,u - v\rangle = \langle u,u\rangle \;-\;\langle u,v\rangle \;-\;\langle v,u\rangle \;+\;\langle v,v\rangle.
Como \langle u,u\rangle=\|u\|^{2} e \langle v,v\rangle=\|v\|^{2}, temos
\|u - v\|^{2} = \|u\|^{2} + \|v\|^{2} \;-\; \bigl(\langle u,v\rangle + \langle v,u\rangle\bigr).

Passo 3

Agora calculemos \|u + v\|^{2}. Similarmente:
\|u + v\|^{2} = \langle u + v,\,u + v\rangle = \langle u,u\rangle \;+\;\langle u,v\rangle \;+\;\langle v,u\rangle \;+\;\langle v,v\rangle,
ou seja
\|u + v\|^{2} = \|u\|^{2} + \|v\|^{2} \;+\; \bigl(\langle u,v\rangle + \langle v,u\rangle\bigr).

Passo 4

Somando as duas expressões:
\|u - v\|^{2} + \|u + v\|^{2} = \bigl(\|u\|^{2} + \|v\|^{2} - (\langle u,v\rangle + \langle v,u\rangle)\bigr) + \bigl(\|u\|^{2} + \|v\|^{2} + (\langle u,v\rangle + \langle v,u\rangle)\bigr).
Os termos envolvendo \langle u,v\rangle + \langle v,u\rangle se cancelam, restando
\|u - v\|^{2} + \|u + v\|^{2} = 2\,\|u\|^{2} + 2\,\|v\|^{2}.

Passo 5

Concluímos que, em qualquer espaço com produto interno, vale a identidade proposta.

Resposta

\|u - v\|^{2} + \|u + v\|^{2} \;=\; 2\,\|u\|^{2} + 2\,\|v\|^{2}.

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