13-Um engenheiro vai realizar uma viagem e quer escolher quatro entre nove camisetas. De quantos modos distintos ele pode escolher as camisetas?

Passo 1

O enunciado diz que um engenheiro tem 9 camisetas distintas e quer escolher 4 delas para a viagem. A pergunta é: de quantos modos distintos ele pode fazer essa escolha?
Informações relevantes: 9 itens disponíveis, escolher 4, e a escolha é uma seleção (ou seja, a ordem das camisetas escolhidas não importa).

Passo 2

Explicação do conceito que precisamos usar (passo-a-passo didático). Quando escolhemos um subconjunto de itens e a ordem não importa, estamos diante de uma combinação. A combinação que escolhe k elementos de um conjunto com n elementos é dada pelo símbolo de binômio \binom{n}{k}, que calcula quantas seleções diferentes existem sem considerar ordem. A fórmula é:
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}
Agora vou explicar o que é cada coisa nessa fórmula:
  • n! (lê-se “n fatorial”) significa o produto dos inteiros positivos de 1 até n: n!=n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot2\cdot1. Por exemplo, 4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24.
  • k! é o fatorial de k.
  • (n-k)! é o fatorial de n-k.
    O motivo da fórmula: primeiro contamos todas as maneiras ordenadas de escolher k objetos (permutações), que é n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot(n-k+1)=\dfrac{n!}{(n-k)!}. Como cada seleção não ordenada aparece repetida k! vezes entre essas ordenações (todas as permutações das k escolhidas), dividimos por k! para eliminar a contagem excessiva. Por isso a fórmula acima.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso com n=9 e k=4:
\binom{9}{4}=\frac{9!}{4!(9-4)!}=\frac{9!}{4!\,5!}.
Vou transformar isso numa conta prática e fácil de fazer sem calculadora.

Passo 4

Calculemos o numerador reduzido (apenas os termos necessários) e o denominador:
\frac{9!}{5!} = 9\cdot8\cdot7\cdot6,
porque 9!=9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5! e o 5! cancela. Assim
\binom{9}{4}=\frac{9\cdot8\cdot7\cdot6}{4!}.
E sabemos que
4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24.

Passo 5

Agora fazemos a divisão passo a passo para ficar claro e simples de fazer sem calculadora:
Primeiro o produto do numerador:
9\cdot8=72,\quad 72\cdot7=504,\quad 504\cdot6=3024,
então o numerador é 3024. Dividimos por 24:
\frac{3024}{24}.
Vamos dividir de forma sequencial para ver cancelamentos fáceis:
\frac{3024}{4}=756,
\frac{756}{3}=252,
\frac{252}{2}=126,
\frac{126}{1}=126.
Logo a divisão dá 126.

Passo 6

Interpretação final e checagem rápida: o resultado \binom{9}{4}=126 significa que existem 126 maneiras diferentes de escolher 4 camisetas dentre 9 quando a ordem não importa. Podemos fazer um pequeno teste mental: se fosse escolher 1 camiseta entre 9, teríamos \binom{9}{1}=9; para 8 entre 9 teríamos \binom{9}{8}=9 também — isso bate com a simetria das combinações ( \binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}). Assim o resultado é consistente.

Resposta

126

Exercícios relacionados