13-Um engenheiro vai realizar uma viagem e quer escolher quatro entre nove camisetas. De quantos modos distintos ele pode escolher as camisetas?
Passo 1
O enunciado diz que um engenheiro tem
camisetas distintas e quer escolher
delas para a viagem. A pergunta é: de quantos modos distintos ele pode fazer essa escolha?
Informações relevantes: itens disponíveis, escolher
, e a escolha é uma seleção (ou seja, a ordem das camisetas escolhidas não importa).
Informações relevantes:
Passo 2
Explicação do conceito que precisamos usar (passo-a-passo didático). Quando escolhemos um subconjunto de itens e a ordem não importa, estamos diante de uma combinação. A combinação que escolhe
elementos de um conjunto com
elementos é dada pelo símbolo de binômio
, que calcula quantas seleções diferentes existem sem considerar ordem. A fórmula é:
Agora vou explicar o que é cada coisa nessa fórmula:
-
(lê-se “n fatorial”) significa o produto dos inteiros positivos de até : . Por exemplo, . -
é o fatorial de . -
é o fatorial de .
O motivo da fórmula: primeiro contamos todas as maneiras ordenadas de escolherobjetos (permutações), que é . Como cada seleção não ordenada aparece repetida vezes entre essas ordenações (todas as permutações das escolhidas), dividimos por para eliminar a contagem excessiva. Por isso a fórmula acima.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso com
e
:
Vou transformar isso numa conta prática e fácil de fazer sem calculadora.
Passo 4
Calculemos o numerador reduzido (apenas os termos necessários) e o denominador:
porque
e o
cancela. Assim
E sabemos que
Passo 5
Agora fazemos a divisão passo a passo para ficar claro e simples de fazer sem calculadora:
Primeiro o produto do numerador:
Primeiro o produto do numerador:
então o numerador é
. Dividimos por
:
Vamos dividir de forma sequencial para ver cancelamentos fáceis:
Logo a divisão dá
.
Passo 6
Interpretação final e checagem rápida: o resultado
significa que existem
maneiras diferentes de escolher
camisetas dentre
quando a ordem não importa. Podemos fazer um pequeno teste mental: se fosse escolher
camiseta entre
, teríamos
; para
entre
teríamos
também — isso bate com a simetria das combinações (
). Assim o resultado é consistente.