A probabilidade de um bebê que nasce ser uma menina é aproximadamente 0,49 . Determine a probabilidade dos próximos cinco nascimentos não múltiplos em um determinado hospital ser não mais que duas meninas.
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos:
- A probabilidade de um bebê nascer menina é
. - Vamos considerar os próximos cinco nascimentos não múltiplos (ou seja, cinco nascimentos simples, um de cada vez).
- Pergunta: determinar a probabilidade de que haja, nesses cinco nascimentos, “não mais que duas meninas” (ou seja, zero, uma ou duas meninas).
Passo 2
Modelo probabilístico e justificativa (o que estamos usando para resolver):
- Cada nascimento pode ser modelado como uma tentativa com dois resultados: “menina” (sucesso, probabilidade
) ou “não menina” (fracasso, probabilidade ). - Assumimos que os cinco nascimentos são independentes (condição razoável para esse tipo de problema).
- O número de meninas em 5 nascimentos segue uma distribuição binomial com parâmetros
e . - Notação: seja
a variável aleatória que conta o número de meninas em 5 nascimentos. Então . - O que nos pedem é
, a probabilidade de ter no máximo 2 meninas.
Passo 3
Fórmula da distribuição binomial e explicação das peças:
- A probabilidade de ocorrer exatamente
sucessos (meninas) em tentativas é dada por
onde:
-
é o número de maneiras de escolher as tentativas que deram sucesso entre as , -
é a probabilidade dos sucessos ocorrerem, -
é a probabilidade dos restantes serem fracassos. - A combinação
pode ser calculada por
onde
é fatorial (por exemplo
).
Passo 4
Aplicando a fórmula ao nosso caso (
,
,
):
- Queremos
- Calculamos cada termo usando a fórmula.
Passo 5
Cálculo de
:
-
. -
- Calculando potências passo a passo:
-
, -
, -
.
-
- Portanto
.
Passo 6
Cálculo de
:
-
. -
- Já temos
. - Multiplicando:
- Agora multiplicar por 5:
- Portanto
.
Passo 7
Cálculo de
:
-
-
- Calculando potências:
-
, -
-
- Produto interno:
- Multiplicando por 10:
- Portanto
.
Passo 8
Somando os termos para obter
:
- Somamos os três resultados:
-
- Soma:
- Arredondando de forma prática para a prova, podemos usar
(quatro casas decimais) ou (três casas).