A probabilidade de um bebê que nasce ser uma menina é aproximadamente 0,49 . Determine a probabilidade dos próximos cinco nascimentos não múltiplos em um determinado hospital ser não mais que duas meninas.

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos:
  • A probabilidade de um bebê nascer menina é \,p=0,49.
  • Vamos considerar os próximos cinco nascimentos não múltiplos (ou seja, cinco nascimentos simples, um de cada vez).
  • Pergunta: determinar a probabilidade de que haja, nesses cinco nascimentos, “não mais que duas meninas” (ou seja, zero, uma ou duas meninas).

Passo 2

Modelo probabilístico e justificativa (o que estamos usando para resolver):
  • Cada nascimento pode ser modelado como uma tentativa com dois resultados: “menina” (sucesso, probabilidade \,p=0,49) ou “não menina” (fracasso, probabilidade \,1-p).
  • Assumimos que os cinco nascimentos são independentes (condição razoável para esse tipo de problema).
  • O número de meninas em 5 nascimentos segue uma distribuição binomial com parâmetros \,n=5 e \,p=0,49.
  • Notação: seja \,X a variável aleatória que conta o número de meninas em 5 nascimentos. Então \,X\sim \mathrm{Bin}(n=5,p=0,49).
  • O que nos pedem é \mathbb{P}(X\le 2), a probabilidade de ter no máximo 2 meninas.

Passo 3

Fórmula da distribuição binomial e explicação das peças:
  • A probabilidade de ocorrer exatamente \,k sucessos (meninas) em \,n tentativas é dada por
\mathbb{P}(X=k)=\binom{n}{k} p^{k}(1-p)^{\,n-k},
onde:
  • \,\binom{n}{k} é o número de maneiras de escolher as \,k tentativas que deram sucesso entre as \,n,
  • \,p^{k} é a probabilidade dos \,k sucessos ocorrerem,
  • (1-p)^{\,n-k} é a probabilidade dos restantes \,n-k serem fracassos.
  • A combinação \,\binom{n}{k} pode ser calculada por
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde \,n! é fatorial (por exemplo \,5!=120).

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso caso ( n=5, p=0,49, 1-p=0,51):
  • Queremos
\mathbb{P}(X\le 2)=\mathbb{P}(X=0)+\mathbb{P}(X=1)+\mathbb{P}(X=2).
  • Calculamos cada termo usando a fórmula.

Passo 5

Cálculo de \mathbb{P}(X=0):
  • \displaystyle \binom{5}{0}=1.
  • \displaystyle \mathbb{P}(X=0)=1\cdot (0,49)^{0}\cdot(0,51)^{5}=(0,51)^{5}.
  • Calculando potências passo a passo:
    • (0,51)^2=0,2601,
    • (0,51)^4=(0,2601)^2=0,06765201,
    • (0,51)^5=(0,51)\cdot(0,51)^4=0,51\cdot 0,06765201=0,0345025251.
  • Portanto \displaystyle \mathbb{P}(X=0)\approx 0,0345025251.

Passo 6

Cálculo de \mathbb{P}(X=1):
  • \displaystyle \binom{5}{1}=5.
  • \displaystyle \mathbb{P}(X=1)=5\cdot (0,49)^{1}\cdot(0,51)^{4}.
  • Já temos (0,51)^4=0,06765201.
  • Multiplicando: (0,49)\cdot(0,06765201)=0,0331584849.
  • Agora multiplicar por 5: 5\cdot 0,0331584849=0,1657924245.
  • Portanto \displaystyle \mathbb{P}(X=1)\approx 0,1657924245.

Passo 7

Cálculo de \mathbb{P}(X=2):
  • \displaystyle \binom{5}{2}=\frac{5!}{2!3!}=\frac{120}{2\cdot 6}=10.
  • \displaystyle \mathbb{P}(X=2)=10\cdot (0,49)^{2}\cdot(0,51)^{3}.
  • Calculando potências:
    • (0,49)^2=0,2401,
    • (0,51)^3=(0,51)\cdot(0,51)^2=0,51\cdot 0,2601=0,132651.
  • Produto interno: 0,2401\cdot 0,132651=0,0318495051.
  • Multiplicando por 10: 10\cdot 0,0318495051=0,318495051.
  • Portanto \displaystyle \mathbb{P}(X=2)\approx 0,318495051.

Passo 8

Somando os termos para obter \mathbb{P}(X\le 2):
  • Somamos os três resultados:
    • \mathbb{P}(X=0)\approx 0,0345025251
    • \mathbb{P}(X=1)\approx 0,1657924245
    • \mathbb{P}(X=2)\approx 0,318495051
  • Soma:
0,0345025251+0,1657924245+0,318495051 \approx 0,5187900006.
  • Arredondando de forma prática para a prova, podemos usar \approx 0,5188 (quatro casas decimais) ou \approx 0,519 (três casas).

Resposta

\approx 0,5188

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