(a)
, para
e 13 , e para todo
.
(b)
que
, para
e 13 .
(b)
Passo 1
O enunciado pede para provar duas coisas envolvendo congruências módulo
, com
variando entre os primos
.
(a) Mostrar que para todo vale
(a) Mostrar que para todo
(b) Sob a hipótese
, mostrar que
O conteúdo principal a usar é o Pequeno Teorema de Fermat, que diz que, para todo primo
,
- se
, então - e mais ainda, valendo para todo
,
Passo 2
Como os módulos
são primos, podemos aplicar o Pequeno Teorema de Fermat. Em particular:
- Se
, então . - Se
, então e assim .
Logo em ambos os casos (ou ) vale
Passo 3
Para cada primo
note que
divide
. Mais precisamente existe um inteiro
tal que
De fato:
-
. -
. -
. -
. -
.
Passo 4
Usando a divisão acima, escrevemos
Pelo Pequeno Teorema de Fermat,
quando
, e mesmo se
ambas as partes ficam
. Logo
provando o item (a) para todo
.
Passo 5
Sob a hipótese
, o Pequeno Teorema já garante
Como vimos,
divide
, isto é, existe
tal que
Então
o que comprova o item (b).
Resposta
(a) Para cada primo
vale
.
(b) Se , então para esses mesmos
vale
.
(b) Se