Verifique se a família a dois parâmetros dada é a solução geral da EDO não homogênea. Verifique se as duas primeiras são duas soluções LI da homogênea e a última é solução particular da não homogênea.
y^prime prime-4 y^prime+4 y=2 e^2 x+4 x-12, com y(x)=c1 e^2 x+c2 x e^2 x+x^2 e^2 x+x-2

Passo 1

O enunciado pede para checar se a família
y(x)=c₁e{2x}+c₂xe{2x}+x²e^{2x}+x−2 é a solução geral da EDO
y''−4y'+4y=2e^2x+4x−12,
ou seja, verificar que as duas primeiras funções formam a base da homogênea e que a última é uma solução particular. Vamos usar teoria de EDO linear de 2ª ordem com coeficientes constantes: característica, Wronskiano e substituição direta.

Passo 2

Para a parte homogênea, montamos o polinômio característico
r²−4r+4=(r−2)²=0,²²
raiz dupla r=2. Assim a solução geral da homogênea é
yh=c1e^2x+c2xe^2x
Definimos y₁=e^{2x} e y₂=xe^{2x}. Calculamos o Wronskiano
W(y1,y2)=e^2x&xe^2x2e^2x&(1+2x)e^2x=e^4x(1+2x−2x)=e^4x neq0
Como W≠0, y₁ e y₂ são linearmente independentes.

Passo 3

Para a parte não homogênea, propomos y_p=x²e^{2x}+x−2. Calculamos derivadas:
yp'= (2x+2x^2)e^2x+1,
yp''=(2+8x+4x^2)e^2x
Substituindo em L[y]=y’‘−4y’+4y,
L[yp]=e^2x(2+8x+4x^2)−4l[(2x+2x^2)e^2x+1r]+4l[x^2e^2x+x−2r]
Reagrupando, os termos em x²e^{2x}, xe^{2x} se cancelam e sobra
L[yp]=2e^2x+4x−12,
que coincide com o lado direito da EDO. Portanto y_p é solução particular.

Passo 4

Como y_h cobre todas as soluções da homogênea e y_p satisfaz a não homogênea, a família
y(x)=c₁e{2x}+c₂xe{2x}+x²e^{2x}+x−2 é de fato a solução geral.

Resposta

Sim. As funções y₁=e^{2x} e y₂=xe^{2x} formam uma base LI da homogênea e y_p=x²e^{2x}+x−2 é solução particular de y’‘−4y’+4y=2e^{2x}+4x−12, de modo que y(x)=c₁e{2x}+c₂xe{2x}+x²e^{2x}+x−2 é a solução geral.

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