Verifique se a família a dois parâmetros dada é a solução geral da EDO não homogênea. Verifique se as duas primeiras são duas soluções LI da homogênea e a última é solução particular da não homogênea.
, com
Passo 1
O enunciado pede para checar se a família
y(x)=c₁e{2x}+c₂xe{2x}+x²e^{2x}+x−2 é a solução geral da EDO
y(x)=c₁e{2x}+c₂xe{2x}+x²e^{2x}+x−2 é a solução geral da EDO
ou seja, verificar que as duas primeiras funções formam a base da homogênea e que a última é uma solução particular. Vamos usar teoria de EDO linear de 2ª ordem com coeficientes constantes: característica, Wronskiano e substituição direta.
Passo 2
Para a parte homogênea, montamos o polinômio característico
raiz dupla r=2. Assim a solução geral da homogênea é
Definimos y₁=e^{2x} e y₂=xe^{2x}. Calculamos o Wronskiano
Como W≠0, y₁ e y₂ são linearmente independentes.
Passo 3
Para a parte não homogênea, propomos y_p=x²e^{2x}+x−2. Calculamos derivadas:
Substituindo em L[y]=y’‘−4y’+4y,
Reagrupando, os termos em x²e^{2x}, xe^{2x} se cancelam e sobra
que coincide com o lado direito da EDO. Portanto y_p é solução particular.
Passo 4
Como y_h cobre todas as soluções da homogênea e y_p satisfaz a não homogênea, a família
y(x)=c₁e{2x}+c₂xe{2x}+x²e^{2x}+x−2 é de fato a solução geral.
y(x)=c₁e{2x}+c₂xe{2x}+x²e^{2x}+x−2 é de fato a solução geral.
Resposta
Sim. As funções y₁=e^{2x} e y₂=xe^{2x} formam uma base LI da homogênea e y_p=x²e^{2x}+x−2 é solução particular de y’‘−4y’+4y=2e^{2x}+4x−12, de modo que y(x)=c₁e{2x}+c₂xe{2x}+x²e^{2x}+x−2 é a solução geral.