Resolva as equações de Euler.
x^2 y^prime prime-4 x y^prime+6 y=x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Euler
x^2y'' - 4x,y' + 6y = x
O conteúdo aqui é a equação de Cauchy–Euler: para a parte homogênea usamos o ensaio y=x^r e, depois, aplicamos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular.

Passo 2

Para a parte homogênea tomamos y=x^r. Então
y' = r,x^r-1, y'' = r(r-1)x^r-2
Substituindo em
x^2y'' -4x,y' +6y = 0
obtém-se
x^2l[r(r-1)x^r-2r] -4xl[r,x^r-1r] +6x^r = l[r(r-1)-4r+6r]x^r = (r^2-5r+6)x^r=0
Daí a equação característica é
r^2-5r+6=0
cuja solução é r=2 ou r=3. Logo
yh(x)=C1x^2+C2x^3

Passo 3

Buscamos uma solução particular por coeficientes indeterminados. Como o termo não-homogêneo é x^1 e 1 não é raiz da característica (pois substituindo r=1 temos 1-5+6=2neq0), tentamos
yp(x)=A,x
Então
yp'=A, yp''=0
Substituindo na equação original:
x^2cdot0 ;-;4xcdot A ;+;6(Ax) = (-4A+6A)x =2A,x
Igualando a x do lado direito, 2A,x = x, segue A=tfrac12. Assim
yp(x)=tfrac12,x

Passo 4

A solução geral é a soma
y(x)=yh(x)+yp(x)=C1x^2+C2x^3+tfrac12,x

Resposta

y(x)=C1x^2+C2x^3+x2

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