Encontre as derivadas parciais partial fpartial x e partial fpartial y nos casos abaixo:
f(x, y)=x cos (e^y)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as derivadas parciais de f(x,y)=xcos(e^y). O conteúdo aqui é derivada parcial e vamos usar a ideia de que, para partial f/partial x, tratamos y como constante, e para partial f/partial y, tratamos x como constante, além de aplicar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Para calcular partial fpartial x, vemos que f(x,y) é produto de x por cos(e^y), mas cos(e^y) não depende de x. Assim, a derivada de x em relação a x é 1 e ficamos com

Passo 3

partial fpartial x=1cdotcos(e^y)=cos(e^y)

Passo 4

Para calcular partial fpartial y, tratamos x como constante e derivamos cos(e^y) em relação a y. Usamos a regra da cadeia: a derivada de cos(u) em relação a u é -sin(u), e a derivada de e^y em relação a y é e^y. Logo,

Passo 5

partial fpartial y=xcdotl(-sin(e^y)r)cdot e^y=-x,e^ysin(e^y)

Resposta

partial fpartial x=cos(e^y), partial fpartial y=-x,e^ysin(e^y)

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