17 A medida do ângulo central de um polígono regular é 24^{\circ}. De acordo com esta informação, determine as seguintes medidas:
a) do ângulo interno.
b) do ângulo externo.

Passo 1

O enunciado diz que um polígono regular tem ângulo central de \,24^\circ. Ele pede:
a) a medida do ângulo interno;
b) a medida do ângulo externo.
Informações relevantes dadas: o polígono é regular (todos os ângulos e lados iguais) e a medida do ângulo central é \,24^\circ.

Passo 2

Definimos a variável n como o número de lados (ou vértices) do polígono. Em um polígono regular, a volta completa no centro é \,360^\circ, e essa volta é dividida igualmente pelos n ângulos centrais. Portanto a relação é
\text{ângulo central}=\frac{360^\circ}{n}.â
Como o enunciado dá o ângulo central igual a \,24^\circ, igualamos e resolvemos para n:
\frac{360^\circ}{n}=24^\circ.
Para achar n isolamos n:
n=\frac{360^\circ}{24^\circ}.
Agora fazemos a divisão: \,360\div24=15 porque 24\cdot15=360. Logo
n=15.

Passo 3

Agora vamos ao ângulo externo. Para qualquer polígono convexo, a soma dos ângulos externos (tomando um ângulo externo por vértice) é \,360^\circ. Em um polígono regular cada ângulo externo tem a mesma medida, então
\text{ângulo externo}=\frac{360^\circ}{n}.â
Como já encontramos n=15, substituímos:
\text{ângulo externo}=\frac{360^\circ}{15}=24^\circ.â
Observação: numericamente o ângulo externo coincide com o ângulo central porque ambos valem \frac{360^\circ}{n} em um polígono regular.

Passo 4

Para o ângulo interno, use a relação entre ângulo interno e externo num vértice de um polígono convexo: eles formam um par linear, portanto
\text{ângulo interno}+\text{ângulo externo}=180^\circ.ââ
Isolando o ângulo interno:
\text{ângulo interno}=180^\circ-\text{ângulo externo}.ââ
Já sabemos que o ângulo externo é \,24^\circ, então
\text{ângulo interno}=180^\circ-24^\circ=156^\circ.â

Passo 5

(Confirmação alternativa) Outra fórmula que dá diretamente o ângulo interno de um polígono regular em função de n é
\text{ângulo interno}=180^\circ\cdot\frac{n-2}{n}.â
Substituindo n=15:
\text{ângulo interno}=180^\circ\cdot\frac{15-2}{15}=180^\circ\cdot\frac{13}{15}.â
Calculando: \,180\div15=12 e 12\cdot13=156, então obtemos novamente \,156^\circ, confirmação do cálculo anterior.

Resposta

a) \,156^\circ
b) \,24^\circ

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