17 A medida do ângulo central de um polígono regular é
. De acordo com esta informação, determine as seguintes medidas:
a) do ângulo interno.
b) do ângulo externo.
a) do ângulo interno.
b) do ângulo externo.
Passo 1
O enunciado diz que um polígono regular tem ângulo central de
. Ele pede:
a) a medida do ângulo interno;
b) a medida do ângulo externo.
Informações relevantes dadas: o polígono é regular (todos os ângulos e lados iguais) e a medida do ângulo central é .
a) a medida do ângulo interno;
b) a medida do ângulo externo.
Informações relevantes dadas: o polígono é regular (todos os ângulos e lados iguais) e a medida do ângulo central é
Passo 2
Definimos a variável
como o número de lados (ou vértices) do polígono. Em um polígono regular, a volta completa no centro é
, e essa volta é dividida igualmente pelos
ângulos centrais. Portanto a relação é
Como o enunciado dá o ângulo central igual a
, igualamos e resolvemos para
:
Para achar
isolamos
:
Agora fazemos a divisão:
porque
. Logo
Passo 3
Agora vamos ao ângulo externo. Para qualquer polígono convexo, a soma dos ângulos externos (tomando um ângulo externo por vértice) é
. Em um polígono regular cada ângulo externo tem a mesma medida, então
Como já encontramos
, substituímos:
Observação: numericamente o ângulo externo coincide com o ângulo central porque ambos valem
em um polígono regular.
Passo 4
Para o ângulo interno, use a relação entre ângulo interno e externo num vértice de um polígono convexo: eles formam um par linear, portanto
Isolando o ângulo interno:
Já sabemos que o ângulo externo é
, então
Passo 5
(Confirmação alternativa) Outra fórmula que dá diretamente o ângulo interno de um polígono regular em função de
é
Substituindo
:
Calculando:
e
, então obtemos novamente
, confirmação do cálculo anterior.
Resposta
a)
b)
b)