(Puc-Rio) Os ângulos internos de um quadrilátero medem 3 \mathrm{x}-45,2 \mathrm{x}+10,2 \mathrm{x}+15 e \mathrm{x}+20 graus. O menor ângulo mede:
a) 90^{\circ}
b) 65^{\circ}
c) 45^{\circ}
d) 105^{\circ}
e) 80^{\circ}

Passo 1

O enunciado dá as medidas dos quatro ângulos internos de um quadrilátero e pergunta qual é o menor. As medidas fornecidas são:
3x-45,\quad 2x+10,\quad 2x+15,\quad x+20
A pergunta explícita: “O menor ângulo mede quanto?”

Passo 2

Usamos a informação essencial sobre um quadrilátero: a soma dos quatro ângulos internos é 360^\circ. (Rápida justificativa: um quadrilátero pode ser dividido em dois triângulos; cada triângulo tem soma 180^\circ, então 180^\circ+180^\circ=360^\circ.)

Passo 3

Escrevo a equação somando as quatro expressões e igualando a 360^\circ:
(3x-45)+(2x+10)+(2x+15)+(x+20)=360

Passo 4

Agora vou juntar os termos semelhantes passo a passo. Primeiro os coeficientes de x:
3x+2x+2x+x = 8x.
Depois os termos constantes:
-45+10+15+20 = -45+10=-35,\quad -35+15=-20,\quad -20+20=0.
Portanto a soma total simplifica para:
8x+0 = 360,
ou simplesmente
8x=360.

Passo 5

Isolo x dividindo ambos os lados por 8:
x=\frac{360}{8}.
Calculo a divisão: 8\cdot45=320+40=360, logo
x=45.

Passo 6

Substituo x=45 em cada expressão para obter as medidas numéricas dos ângulos:
Para (3x-45):
3\cdot45-45 = 135-45 = 90^\circ.
Para (2x+10):
2\cdot45+10 = 90+10 = 100^\circ.
Para (2x+15):
2\cdot45+15 = 90+15 = 105^\circ.
Para (x+20):
45+20 = 65^\circ.

Passo 7

Agora comparo as quatro medidas obtidas:
90^\circ,\;100^\circ,\;105^\circ,\;65^\circ.
O menor valor entre eles é 65^\circ. Verificação rápida: a soma 90+100+105+65=360^\circ, consistente com o quadrilátero.

Resposta

65^\circ

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