(Unesp-2001) O número de diagonais de um polígono convexo de x lados é dado por
. Se o polígono possui 9 diagonais, seu número de lados é
a) 10 .
b) 9 .
c) 8 .
d) 7 .
e) 6 .
a) 10 .
b) 9 .
c) 8 .
d) 7 .
e) 6 .
Passo 1
O enunciado dá a fórmula do número de diagonais de um polígono convexo de
lados:
e diz que o polígono possui
diagonais. A pergunta é: qual é o número de lados
do polígono? (São dadas as alternativas: a)
, b)
, c)
, d)
, e)
.)
Passo 2
Antes de começar a resolver, vamos entender a fórmula
de forma bem didática. Conte comigo: se um polígono tem
vértices, o número total de segmentos que ligam pares de vértices é o número de combinações de
elementos tomados de
em
, que é
Esses segmentos incluem tanto as diagonais quanto os lados do polígono. Como o polígono tem exatamente
lados (cada par de vértices consecutivos forma um lado), o número de diagonais é
Aqui
representa o número de lados (ou vértices) do polígono. Beleza — agora a fórmula está clara.
Passo 3
Agora usamos a informação do problema:
. Substituímos na fórmula:
Passo 4
Multiplicamos os dois lados por
para eliminar o denominador:
Passo 5
Passamos tudo para um lado para obter a forma padrão da equação quadrática:
Passo 6
Vamos fatorar o polinômio. Procuramos dois números cujo produto seja
e cuja soma seja
. Esses números são
e
, pois
Portanto o trinômio se fatoriza como
Passo 7
Das fatorações obtemos as raízes pela propriedade do produto nulo:
logo
Passo 8
Interpretando as soluções:
é o número de lados de um polígono, logo deve ser inteiro positivo e pelo menos
. A solução
é impossível geometricamente, então descartamos. A solução válida é
. Para checar rapidamente:
confirmando que com
lados obtemos exatamente
diagonais — ótimo!
Passo 9
Portanto, entre as alternativas dadas, a correta é a letra e)
.
Resposta
e)