(Unesp-2001) O número de diagonais de um polígono convexo de x lados é dado por \mathrm{N}(\mathrm{x})=\left(\mathrm{x}^{2}\right. 3 \mathrm{x}) / 2. Se o polígono possui 9 diagonais, seu número de lados é
a) 10 .
b) 9 .
c) 8 .
d) 7 .
e) 6 .

Passo 1

O enunciado dá a fórmula do número de diagonais de um polígono convexo de x lados:
\mathrm{N}(x)=\frac{x^{2}-3x}{2}
e diz que o polígono possui \,9\, diagonais. A pergunta é: qual é o número de lados x do polígono? (São dadas as alternativas: a) 10, b) 9, c) 8, d) 7, e) 6.)

Passo 2

Antes de começar a resolver, vamos entender a fórmula \mathrm{N}(x)=\dfrac{x^{2}-3x}{2} de forma bem didática. Conte comigo: se um polígono tem x vértices, o número total de segmentos que ligam pares de vértices é o número de combinações de x elementos tomados de 2 em 2, que é
\binom{x}{2}=\frac{x(x-1)}{2}.
Esses segmentos incluem tanto as diagonais quanto os lados do polígono. Como o polígono tem exatamente x lados (cada par de vértices consecutivos forma um lado), o número de diagonais é
\frac{x(x-1)}{2}-x=\frac{x(x-1)-2x}{2}=\frac{x(x-3)}{2}=\frac{x^{2}-3x}{2}.
Aqui x representa o número de lados (ou vértices) do polígono. Beleza — agora a fórmula está clara.

Passo 3

Agora usamos a informação do problema: \mathrm{N}(x)=9. Substituímos na fórmula:
\frac{x^{2}-3x}{2}=9.

Passo 4

Multiplicamos os dois lados por 2 para eliminar o denominador:
x^{2}-3x=18.

Passo 5

Passamos tudo para um lado para obter a forma padrão da equação quadrática:
x^{2}-3x-18=0.

Passo 6

Vamos fatorar o polinômio. Procuramos dois números cujo produto seja -18 e cuja soma seja -3. Esses números são -6 e 3, pois
(-6)\cdot 3=-18\quad\text{e}\quad (-6)+3=-3.
Portanto o trinômio se fatoriza como
x^{2}-3x-18=(x-6)(x+3).

Passo 7

Das fatorações obtemos as raízes pela propriedade do produto nulo:
(x-6)(x+3)=0 \implies x-6=0 \\ \text{ou}\\ x+3=0,
logo
x=6 \quad\text{ou}\quad x=-3.

Passo 8

Interpretando as soluções: x é o número de lados de um polígono, logo deve ser inteiro positivo e pelo menos 3. A solução x=-3 é impossível geometricamente, então descartamos. A solução válida é x=6. Para checar rapidamente:
\mathrm{N}(6)=\frac{6^{2}-3\cdot 6}{2}=\frac{36-18}{2}=\frac{18}{2}=9,
confirmando que com 6 lados obtemos exatamente 9 diagonais — ótimo!

Passo 9

Portanto, entre as alternativas dadas, a correta é a letra e) 6.

Resposta

e) 6

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