18- Dois sócios formam uma sociedade entrando com capitais iguais. O primeiro permaneceu durante 2 meses e o segundo, durante 8 meses. A sociedade deu \mathrm{R} \ 2000,00$ de prejuízo. Calcular o prejuízo de cada sócio.

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações:
  • Dois sócios entram com capitais iguais.
  • O primeiro sócio permaneceu na sociedade durante 2 meses.
  • O segundo sócio permaneceu na sociedade durante 8 meses.
  • A sociedade teve um prejuízo total de \mathrm{R}\$\,2000{,}00.
O que o problema pede:
  • Calcular quanto de prejuízo cabe a cada sócio (quanto cada um deve arcar dos \mathrm{R}\$\,2000{,}00).

Passo 2

Ideia geral e fórmula (explicação didática).
Quando sócios investem capitais e permanecem por tempos diferentes, o prejuízo (ou lucro) é repartido em proporção ao produto “capital × tempo” de cada sócio. Isso faz sentido porque quem mantém mais capital investido por mais tempo participa mais dos resultados.
Definindo as variáveis:
  • C_i = capital investido pelo sócio i.
  • t_i = tempo (em meses) que o sócio i permaneceu.
  • L = prejuízo total (no caso, \mathrm{R}\$\,2000{,}00).
  • L_i = parte do prejuízo atribuída ao sócio i.
A fórmula geral é:
L_i = L \cdot \frac{C_i \, t_i}{\sum_{j} C_j \, t_j}.
Aqui \sum_{j} C_j \, t_j é a soma dos produtos capital×tempo de todos os sócios; a fração dá a participação proporcional do sócio i.

Passo 3

Aplicando ao caso (dados do problema).
Como os capitais são iguais, podemos chamar cada capital de C. Então:
  • Para o sócio 1: C_1 = C e t_1 = 2.
  • Para o sócio 2: C_2 = C e t_2 = 8.
Calcule os produtos C_i t_i:
C_1 t_1 = C\cdot 2 = 2C, \qquad C_2 t_2 = C\cdot 8 = 8C.
A soma é
\sum_{j} C_j t_j = 2C + 8C = 10C.

Passo 4

Calcular as frações de participação (mostrando o cancelamento de C).
A participação do sócio 1 é
\frac{C_1 t_1}{\sum_j C_j t_j} = \frac{2C}{10C} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}.
A participação do sócio 2 é
\frac{C_2 t_2}{\sum_j C_j t_j} = \frac{8C}{10C} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}.
Perceba que o valor do capital C cancela — não precisamos saber quanto cada um aplicou numericamente, apenas que foram iguais.

Passo 5

Calcular os prejuízos numéricos usando L=\mathrm{R}\$\,2000{,}00.
Para o sócio 1:
L_1 = L \cdot \frac{1}{5} = \mathrm{R}\$\,2000{,}00 \cdot \frac{1}{5} = \mathrm{R}\$\,400{,}00.
Para o sócio 2:
L_2 = L \cdot \frac{4}{5} = \mathrm{R}\$\,2000{,}00 \cdot \frac{4}{5} = \mathrm{R}\$\,1600{,}00.

Passo 6

Verificação rápida e comentário final.
Soma das partes: \mathrm{R}\$\,400{,}00 + \mathrm{R}\$\,1600{,}00 = \mathrm{R}\$\,2000{,}00, que é exatamente o prejuízo total — tudo consistente.
Dica prática para a prova: quando os capitais são iguais, basta repartir o total na razão dos tempos 2:8 (ou simplificando 1:4), e dividir o total nessas partes.

Resposta

O prejuízo do primeiro sócio é \mathrm{R}\$\,400{,}00.
O prejuízo do segundo sócio é \mathrm{R}\$\,1600{,}00.

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