18- Dois sócios formam uma sociedade entrando com capitais iguais. O primeiro permaneceu durante 2 meses e o segundo, durante 8 meses. A sociedade deu
2000,00$ de prejuízo. Calcular o prejuízo de cada sócio.
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações:
- Dois sócios entram com capitais iguais.
- O primeiro sócio permaneceu na sociedade durante
meses. - O segundo sócio permaneceu na sociedade durante
meses. - A sociedade teve um prejuízo total de
.
O que o problema pede:
- Calcular quanto de prejuízo cabe a cada sócio (quanto cada um deve arcar dos
).
Passo 2
Ideia geral e fórmula (explicação didática).
Quando sócios investem capitais e permanecem por tempos diferentes, o prejuízo (ou lucro) é repartido em proporção ao produto “capital × tempo” de cada sócio. Isso faz sentido porque quem mantém mais capital investido por mais tempo participa mais dos resultados.
Quando sócios investem capitais e permanecem por tempos diferentes, o prejuízo (ou lucro) é repartido em proporção ao produto “capital × tempo” de cada sócio. Isso faz sentido porque quem mantém mais capital investido por mais tempo participa mais dos resultados.
Definindo as variáveis:
-
= capital investido pelo sócio . -
= tempo (em meses) que o sócio permaneceu. -
= prejuízo total (no caso, ). -
= parte do prejuízo atribuída ao sócio .
A fórmula geral é:
Aqui
é a soma dos produtos capital×tempo de todos os sócios; a fração dá a participação proporcional do sócio
.
Passo 3
Aplicando ao caso (dados do problema).
Como os capitais são iguais, podemos chamar cada capital de . Então:
Como os capitais são iguais, podemos chamar cada capital de
- Para o sócio 1:
e . - Para o sócio 2:
e .
Calcule os produtos
:
A soma é
Passo 4
Calcular as frações de participação (mostrando o cancelamento de
).
A participação do sócio 1 é
A participação do sócio 1 é
A participação do sócio 2 é
Perceba que o valor do capital
cancela — não precisamos saber quanto cada um aplicou numericamente, apenas que foram iguais.
Passo 5
Calcular os prejuízos numéricos usando
.
Para o sócio 1:
Para o sócio 1:
Para o sócio 2:
Passo 6
Verificação rápida e comentário final.
Soma das partes: , que é exatamente o prejuízo total — tudo consistente.
Dica prática para a prova: quando os capitais são iguais, basta repartir o total na razão dos tempos (ou simplificando
), e dividir o total nessas partes.
Soma das partes:
Dica prática para a prova: quando os capitais são iguais, basta repartir o total na razão dos tempos
Resposta
O prejuízo do primeiro sócio é
.
O prejuízo do segundo sócio é .
O prejuízo do segundo sócio é