Às 13 horas um navio
está a uma distância de 50 km ao sul de um navio
. O navio
navega rumo norte a
. O navio
navega rumo oeste a
. A que horas a distância entre os dois navios é mínima?
Passo 1
O enunciado diz que às 13 h o navio
está
km ao sul do navio
. A navegação é uniforme:
segue rumo norte a
km/h e
segue rumo oeste a
km/h. O objetivo é achar o instante
(em horas após as 13 h) que minimiza a distância entre eles. Vamos modelar as posições no plano, escrever a função distância e encontrar seu mínimo usando derivadas.
Passo 2
Escolhemos um sistema de coordenadas cartesianas onde, no instante
(às 13 h),
Passo 3
As funções posição em função de
(em horas após as 13 h) são:
Passo 4
A distância ao quadrado entre
e
é
Passo 5
Para achar o mínimo de distância basta anular a derivada de
:
Logo a condição de extremo é
Passo 6
Resolvendo para
:
Como
, esse é um mínimo.
Passo 7
Convertendo
h em horas e minutos:
Portanto o mínimo ocorre cerca de
h 19 min após as 13 h, ou seja, às 14 h 19 min.
Resposta
Ocorre aproximadamente às 14 h 19 min.