Às 13 horas um navio A está a uma distância de 50 km ao sul de um navio B. O navio A navega rumo norte a 25 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. O navio B navega rumo oeste a 18 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. A que horas a distância entre os dois navios é mínima?

Passo 1

O enunciado diz que às 13 h o navio A está 50 km ao sul do navio B. A navegação é uniforme: A segue rumo norte a 25 km/h e B segue rumo oeste a 18 km/h. O objetivo é achar o instante t (em horas após as 13 h) que minimiza a distância entre eles. Vamos modelar as posições no plano, escrever a função distância e encontrar seu mínimo usando derivadas.

Passo 2

Escolhemos um sistema de coordenadas cartesianas onde, no instante t=0 (às 13 h),
B=(0,0), \quad A=(0,-50).

Passo 3

As funções posição em função de t (em horas após as 13 h) são:
A(t)=\bigl(0,\,-50+25t\bigr), \quad B(t)=\bigl(-18t,\,0\bigr).

Passo 4

A distância ao quadrado entre A e B é
D^2(t) =(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2 =(0+18t)^2+\bigl(-50+25t-0\bigr)^2 =324\,t^2+(25t-50)^2.

Passo 5

Para achar o mínimo de distância basta anular a derivada de D^2(t):
\frac{d}{dt}D^2(t) =2\cdot324\,t+2\,(25t-50)\cdot25 =2\bigl(324t+625t-1250\bigr) =2\bigl(949t-1250\bigr).
Logo a condição de extremo é
949t-1250=0.

Passo 6

Resolvendo para t:
t=\frac{1250}{949}\approx1{,}3172\\ \text{h}.
Como \frac{d^2}{dt^2}D^2(t)=2\cdot949>0, esse é um mínimo.

Passo 7

Convertendo 1{,}3172 h em horas e minutos:
0{,}3172\times60\approx19{,}03\\ \text{min}.
Portanto o mínimo ocorre cerca de 1 h 19 min após as 13 h, ou seja, às 14 h 19 min.

Resposta

Ocorre aproximadamente às 14 h 19 min.

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