Um vitral tem o formato de um retângulo acrescido pela justaposição de um semicírculo, fazendo-se coincidir o diâmetro deste com o lado superior do retângulo. O vidro utilizado na parte semicircular é mais fosco, de modo que a quantidade de luz que passa por unidade de área é
da permitida pelo vidro da parte retangular. Sendo o perímetro do vitral fixado em
, calcule as medidas do vitral que permite máxima luminosidade.
Passo 1
O enunciado descreve um vitral formado por um retângulo de largura
e altura
, acrescido na parte superior de um semicírculo de diâmetro igual a essa largura
. O vidro do retângulo deixa passar luz com uma taxa unitária de luminosidade por área, enquanto o vidro semicircular tem taxa
. O perímetro total do contorno (retângulo mais arco semicircular) é fixo em
m. Vamos achar
e
que maximizam a luminosidade total.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a luminosidade total
em função de
e
. A área do retângulo é
e passa luz de taxa 1, contribuindo com
. A área do semicírculo de raio
é
mas sua taxa é
, de modo que a contribuição é
Logo
Passo 3
O perímetro fixo é a soma dos dois lados verticais
, dos dois lados horizontais
e do arco semicircular de comprimento
. Assim
Desse modo isolamos
:
Passo 4
Substituindo
em
, obtemos função de uma variável
:
Passo 5
Para maximizar
, igualamos a derivada a zero:
Verifica-se que é um máximo porque o coeficiente de
em
é negativo.
Passo 6
Finalmente, substituímos
na expressão de
:
Resposta
A largura do retângulo (e diâmetro do semicírculo) deve ser
e a altura do retângulo deve ser