Um vitral tem o formato de um retângulo acrescido pela justaposição de um semicírculo, fazendo-se coincidir o diâmetro deste com o lado superior do retângulo. O vidro utilizado na parte semicircular é mais fosco, de modo que a quantidade de luz que passa por unidade de área é 2 / 3 da permitida pelo vidro da parte retangular. Sendo o perímetro do vitral fixado em 6 m, calcule as medidas do vitral que permite máxima luminosidade.

Passo 1

O enunciado descreve um vitral formado por um retângulo de largura x e altura y, acrescido na parte superior de um semicírculo de diâmetro igual a essa largura x. O vidro do retângulo deixa passar luz com uma taxa unitária de luminosidade por área, enquanto o vidro semicircular tem taxa \tfrac{2}{3}. O perímetro total do contorno (retângulo mais arco semicircular) é fixo em 6 m. Vamos achar x e y que maximizam a luminosidade total.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a luminosidade total L em função de x e y. A área do retângulo é xy e passa luz de taxa 1, contribuindo com xy. A área do semicírculo de raio r=\tfrac{x}{2} é
A_{\rm semi}=\frac12\pi r^2=\frac12\pi\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)^2=\frac{\pi x^2}{8},
mas sua taxa é \tfrac{2}{3}, de modo que a contribuição é
\frac{2}{3}\,A_{\rm semi}=\frac{2}{3}\cdot\frac{\pi x^2}{8}=\frac{\pi x^2}{12}.
Logo
L(x,y)=xy+\frac{\pi x^2}{12}.

Passo 3

O perímetro fixo é a soma dos dois lados verticais 2y, dos dois lados horizontais 2x e do arco semicircular de comprimento \pi r=\pi\frac{x}{2}. Assim
2y+2x+\frac{\pi x}{2}=6.
Desse modo isolamos y:
2y=6-2x-\frac{\pi x}{2} \quad\Longrightarrow\quad y=3 - x - \frac{\pi x}{4}.

Passo 4

Substituindo y em L, obtemos função de uma variável x:
L(x)=x\Bigl(3 - x - \tfrac{\pi x}{4}\Bigr)+\frac{\pi x^2}{12} =3x - x^2 - \frac{\pi x^2}{4}+\frac{\pi x^2}{12} =3x - \Bigl(1+\tfrac{\pi}{6}\Bigr)x^2.

Passo 5

Para maximizar L(x), igualamos a derivada a zero:
L'(x)=3-2\Bigl(1+\tfrac{\pi}{6}\Bigr)x=0 \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{3}{2\bigl(1+\frac{\pi}{6}\bigr)} =\frac{9}{6+\pi}.
Verifica-se que é um máximo porque o coeficiente de x^2 em L(x) é negativo.

Passo 6

Finalmente, substituímos x na expressão de y:
y=3 - \frac{9}{6+\pi}-\frac{\pi}{4}\,\frac{9}{6+\pi} =3 - \frac{9(4+\pi)}{4(6+\pi)} =\frac{36+3\pi}{4(6+\pi)}.

Resposta

A largura do retângulo (e diâmetro do semicírculo) deve ser
x=\frac{9}{6+\pi}\text{ m},
e a altura do retângulo deve ser
y=\frac{36+3\pi}{4(6+\pi)}\text{ m}.

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