Faça um esboço do gráfico das seguintes funções:
f(x)=x^{3}-3 x^{2}

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
f(x)=x^{3}-3x^{2}.
O conteúdo envolve análise de interceptos, derivada para monotonicidade, segunda derivada para concavidade e comportamento em \pm\infty.

Passo 2

Interceptos com os eixos:
– Intercepto em x: resolvemos f(x)=0, ou seja
x^{3}-3x^{2}=x^{2}(x-3)=0\implies x=0\text{ ou }x=3,
logo os pontos (0,0) e (3,0).
– Intercepto em y: basta f(0)=0, já dado por (0,0).

Passo 3

Derivada primeira e monotonicidade:
f'(x)=3x^{2}-6x=3x(x-2).
Zeramos em x=0 e x=2.
– Para x<0: f'>0 (função crescente).
– Para 0<x<2: f'<0 (função decrescente).
– Para x>2: f'>0 (função crescente).
Isso indica um máximo local em (0,0) e um mínimo local em \bigl(2,f(2)\bigr). Calculando
f(2)=2^{3}-3\cdot2^{2}=8-12=-4,
logo mínimo em (2,-4).

Passo 4

Segunda derivada e concavidade:
f''(x)=6x-6=6(x-1).
– Mudança de sinal em x=1, com f(1)=1-3=-2.
– Para x<1: f''<0 (concavidade para baixo).
– Para x>1: f''>0 (concavidade para cima).
Assim há ponto de inflexão em (1,-2).

Passo 5

Comportamento em \pm\infty:
\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty, \qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.

Resposta

O esboço qualitativo do gráfico de f(x)=x^{3}-3x^{2} apresenta:
– Interceptos nos pontos (0,0) e (3,0).
– Máximo local em (0,0).
– Mínimo local em (2,-4).
– Ponto de inflexão em (1,-2).
– Cresce em (-\infty,0), decresce em (0,2) e cresce em (2,\infty).
– Concavidade para baixo em (-\infty,1) e para cima em (1,\infty).
O gráfico é um “S” invertido à esquerda de x=1 e “S” normal à direita, ligando os comportamentos em \pm\infty.

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