Faça um esboço do gráfico das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função
O conteúdo envolve análise de interceptos, derivada para monotonicidade, segunda derivada para concavidade e comportamento em
.
Passo 2
Interceptos com os eixos:
– Intercepto em : resolvemos
, ou seja
– Intercepto em
logo os pontos
e
.
– Intercepto em : basta
, já dado por
.
– Intercepto em
Passo 3
Derivada primeira e monotonicidade:
Zeramos em
e
.
– Para :
(função crescente).
– Para :
(função decrescente).
– Para :
(função crescente).
Isso indica um máximo local em e um mínimo local em
. Calculando
– Para
– Para
– Para
Isso indica um máximo local em
logo mínimo em
.
Passo 4
Segunda derivada e concavidade:
– Mudança de sinal em
, com
.
– Para :
(concavidade para baixo).
– Para :
(concavidade para cima).
Assim há ponto de inflexão em .
– Para
– Para
Assim há ponto de inflexão em
Passo 5
Comportamento em
:
Resposta
O esboço qualitativo do gráfico de
apresenta:
– Interceptos nos pontos e
.
– Máximo local em .
– Mínimo local em .
– Ponto de inflexão em .
– Cresce em , decresce em
e cresce em
.
– Concavidade para baixo em e para cima em
.
O gráfico é um “S” invertido à esquerda de e “S” normal à direita, ligando os comportamentos em
.
– Interceptos nos pontos
– Máximo local em
– Mínimo local em
– Ponto de inflexão em
– Cresce em
– Concavidade para baixo em
O gráfico é um “S” invertido à esquerda de