Deve ser fabricado um reservatório na forma de um cilindro circular reto, aberto no topo, tendo
de capacidade. O custo do material usado para fazer o fundo é três vezes maior do que o custo do material usado na superfície lateral. Supondo que não há perda de material no processo de fabricação, determine as medidas do reservatório que minimizam os custos.
Passo 1
Resumo do problema: precisamos projetar um cilindro circular reto, aberto no topo, com volume
. O material do fundo custa
vezes mais que o da lateral. Nosso objetivo é achar o raio
e a altura
que minimizam o custo total, usando otimização com restrição de volume.
Passo 2
Escrevemos a restrição de volume do cilindro:
Cancelando
e isolando
, obtemos
Passo 3
Agora montamos a função custo. Seja
o custo por
da lateral:
- Área lateral:
, custo . - Área do fundo:
, custo .
Logo o custo total é
Como
é constante, minimizamos
Substituindo
,
Passo 4
Para achar o mínimo, derivamos
em relação a
e igualamos a zero:
Passo 5
Confirmamos que é mínimo observando
Então calculamos a altura:
Resposta
O reservatório que minimiza o custo tem raio
m e altura
m.