Deve ser fabricado um reservatório na forma de um cilindro circular reto, aberto no topo, tendo 24 \pi m^{3} de capacidade. O custo do material usado para fazer o fundo é três vezes maior do que o custo do material usado na superfície lateral. Supondo que não há perda de material no processo de fabricação, determine as medidas do reservatório que minimizam os custos.

Passo 1

Resumo do problema: precisamos projetar um cilindro circular reto, aberto no topo, com volume \,24\pi m^{3}. O material do fundo custa 3 vezes mais que o da lateral. Nosso objetivo é achar o raio r e a altura h que minimizam o custo total, usando otimização com restrição de volume.

Passo 2

Escrevemos a restrição de volume do cilindro:
\pi r^2 h = 24\pi.
Cancelando \pi e isolando h, obtemos
h = \frac{24}{r^2}.

Passo 3

Agora montamos a função custo. Seja c o custo por m^{2} da lateral:
  • Área lateral: 2\pi r h, custo c\,(2\pi r h).
  • Área do fundo: \pi r^2, custo 3c\,(\pi r^2).
Logo o custo total é
C = c\,(2\pi r h) + 3c\,(\pi r^2) = c\pi\bigl(2r h + 3r^2\bigr).
Como c\pi é constante, minimizamos
f(r) = 2r h + 3r^2.
Substituindo h = 24/r^2,
f(r) = 2r\!\bigl(\tfrac{24}{r^2}\bigr) + 3r^2 = \frac{48}{r} + 3r^2.

Passo 4

Para achar o mínimo, derivamos f(r) em relação a r e igualamos a zero:
f'(r) = -\frac{48}{r^2} + 6r = 0 \quad\Longrightarrow\quad 6r = \frac{48}{r^2} \quad\Longrightarrow\quad r^3 = 8 \quad\Longrightarrow\quad r = 2\text{ m}.

Passo 5

Confirmamos que é mínimo observando
f''(r) = \frac{96}{r^3} + 6 > 0\quad(\forall r>0).
Então calculamos a altura:
h = \frac{24}{r^2} = \frac{24}{2^2} = 6\text{ m}.

Resposta

O reservatório que minimiza o custo tem raio 2 m e altura 6 m.

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