Se I é um intervalo fechado limitado e f: I \rightarrow \mathbb{R} é contínua, mostre que se f for estritamente convexa ela possui um único ponto de mínimo.

Passo 1

O enunciado diz que temos um intervalo fechado e limitado I\subset\mathbb{R} e uma função contínua f: I \to \mathbb{R} que é estritamente convexa. O que precisamos mostrar é que existe exatamente um ponto x_0\in I tal que f(x_0) é mínimo. Para isso vamos usar dois resultados: o Teorema de Weierstrass (existência de mínimo para funções contínuas em intervalos compactos) e a definição de convexidade estrita.

Passo 2

Como I é fechado e limitado (compacto) e f é contínua, pelo Teorema de Weierstrass existe ao menos um ponto x_0\in I tal que
f(x_0)\;=\;\min_{x\in I}f(x).

Passo 3

Suponha, por absurdo, que haja dois pontos distintos x_1,x_2\in I que sejam ambos minimizadores, isto é,
f(x_1)=f(x_2)=m\quad\text{e}\quad m=\min_{x\in I}f(x).
Como f é estritamente convexa, para qualquer t\in(0,1) vale
f\bigl((1-t)x_1 + t x_2\bigr) < (1-t)\,f(x_1) + t\,f(x_2) = (1-t)m + t m = m.
Mas (1-t)x_1 + t x_2 pertence a I por convexidade de I, logo encontramos um ponto em I onde f assume valor menor que m. Isso contradiz a minimalidade de m.

Passo 4

Da contradição acima conclui-se que não podem existir dois minimizadores distintos. Assim, o ponto x_0 cujo mínimo foi garantido pelo Teorema de Weierstrass é de fato único.

Resposta

A função f possui exatamente um ponto de mínimo em I.

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