Se
é um intervalo fechado limitado e
é contínua, mostre que se
for estritamente convexa ela possui um único ponto de mínimo.
Passo 1
O enunciado diz que temos um intervalo fechado e limitado
e uma função contínua
que é estritamente convexa. O que precisamos mostrar é que existe exatamente um ponto
tal que
é mínimo. Para isso vamos usar dois resultados: o Teorema de Weierstrass (existência de mínimo para funções contínuas em intervalos compactos) e a definição de convexidade estrita.
Passo 2
Como
é fechado e limitado (compacto) e
é contínua, pelo Teorema de Weierstrass existe ao menos um ponto
tal que
Passo 3
Suponha, por absurdo, que haja dois pontos distintos
que sejam ambos minimizadores, isto é,
Como
é estritamente convexa, para qualquer
vale
Mas
pertence a
por convexidade de
, logo encontramos um ponto em
onde
assume valor menor que
. Isso contradiz a minimalidade de
.
Passo 4
Da contradição acima conclui-se que não podem existir dois minimizadores distintos. Assim, o ponto
cujo mínimo foi garantido pelo Teorema de Weierstrass é de fato único.
Resposta
A função
possui exatamente um ponto de mínimo em
.