Às 13 horas óleo começa a vazar de um tanque a uma taxa de (4+0.75 t) litros por hora
(a) Quanto óleo foi perdido das 13:00 às 16:00?
(b) Quanto óleo foi perdido das 16:00 às 19:00?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um tanque que está vazando óleo a uma taxa que depende do tempo. A gente precisa descobrir quanto óleo foi perdido em dois intervalos de tempo diferentes: das 13:00 às 16:00 e das 16:00 às 19:00. Para resolver isso, vamos usar cálculo, mais especificamente a integração, que ajuda a encontrar a quantidade total perdida a partir da taxa de vazamento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que descreve a taxa de vazamento. A taxa é dada por:
R(t) = 4 + 0.75t litros por hora
Aqui, t representa o tempo em horas a partir das 13:00. Ou seja, t = 0 corresponde às 13:00, t = 3 às 16:00, e assim por diante.

Passo 3

Para encontrar a quantidade total de óleo perdido em um intervalo de tempo, precisamos calcular a integral da taxa de vazamento sobre esse intervalo. A integral essencialmente soma todas as pequenas quantidades de óleo que vazaram a cada instante.
A fórmula geral é:
Q = integrala^b R(t) , dt
onde Q é a quantidade perdida, e a e b são os limites de tempo do intervalo considerado.

Passo 4

Vamos resolver a parte (a): quanto óleo foi perdido das 13:00 às 16:00.
Aqui, a = 0 e b = 3 (porque 16:00 é 3 horas após as 13:00).
Calculando a integral:
Q = integral0^3 (4 + 0.75t) , dt

Passo 5

Vamos resolver essa integral passo a passo.
Primeiro, separamos a integral:
Q = integral0^3 4 , dt + integral0^3 0.75t , dt
Calculando cada parte:
integral0^3 4 , dt = 4t |0^3 = 4 times 3 - 4 times 0 = 12 , litros
integral0^3 0.75t , dt = 0.75 times t^22 |0^3 = 0.75 times 92 - 0.75 times 0 = 3.375 , litros

Passo 6

Somando as duas partes:
Q = 12 + 3.375 = 15.375 , litros
Então, das 13:00 às 16:00, foram perdidos 15,375 litros de óleo.

Passo 7

Agora, vamos para a parte (b): quanto óleo foi perdido das 16:00 às 19:00. Novamente, usamos a função da taxa de vazamento e calculamos a integral no intervalo de tempo correspondente.

Passo 8

Nesse caso, t começa a contar das 13:00, então 16:00 corresponde a t = 3 e 19:00 a t = 6 . Portanto, os limites da integral são a = 3 e b = 6 .

Passo 9

A integral fica:
Q = integral3^6 (4 + 0.75t) , dt

Passo 10

Vamos resolver essa integral:
Q = integral3^6 4 , dt + integral3^6 0.75t , dt
Calculando cada parte:
integral3^6 4 , dt = 4t |3^6 = 4 times 6 - 4 times 3 = 24 - 12 = 12 , litros
integral3^6 0.75t , dt = 0.75 times t^22 |3^6 = 0.75 times 362 - 0.75 times 92 = 0.75 times 18 - 0.75 times 4.5 = 13.5 - 3.375 = 10.125 , litros

Passo 11

Somando as duas partes:
Q = 12 + 10.125 = 22.125 , litros
Então, das 16:00 às 19:00, foram perdidos 22,125 litros de óleo.

Resposta

b) Foram perdidos 22,125 litros de óleo das 16:00 às 19:00.

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