Às 13 horas óleo começa a vazar de um tanque a uma taxa de litros por hora
(a) Quanto óleo foi perdido das 13:00 às 16:00?
(b) Quanto óleo foi perdido das 16:00 às 19:00?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um tanque que está vazando óleo a uma taxa que depende do tempo. A gente precisa descobrir quanto óleo foi perdido em dois intervalos de tempo diferentes: das 13:00 às 16:00 e das 16:00 às 19:00. Para resolver isso, vamos usar cálculo, mais especificamente a integração, que ajuda a encontrar a quantidade total perdida a partir da taxa de vazamento.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que descreve a taxa de vazamento. A taxa é dada por:
Aqui, representa o tempo em horas a partir das 13:00. Ou seja, corresponde às 13:00, às 16:00, e assim por diante.
Passo 3
Para encontrar a quantidade total de óleo perdido em um intervalo de tempo, precisamos calcular a integral da taxa de vazamento sobre esse intervalo. A integral essencialmente soma todas as pequenas quantidades de óleo que vazaram a cada instante.
A fórmula geral é:
onde é a quantidade perdida, e e são os limites de tempo do intervalo considerado.
Passo 4
Vamos resolver a parte (a): quanto óleo foi perdido das 13:00 às 16:00.
Aqui, e (porque 16:00 é 3 horas após as 13:00).
Calculando a integral:
Passo 5
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Primeiro, separamos a integral:
Calculando cada parte:
integral0^3 0.75t , dt = 0.75 times t^22 |0^3 = 0.75 times 92 - 0.75 times 0 = 3.375 , litros
Passo 6
Somando as duas partes:
Q = 12 + 3.375 = 15.375 , litros
Então, das 13:00 às 16:00, foram perdidos 15,375 litros de óleo.
Passo 7
Agora, vamos para a parte (b): quanto óleo foi perdido das 16:00 às 19:00. Novamente, usamos a função da taxa de vazamento e calculamos a integral no intervalo de tempo correspondente.
Passo 8
Nesse caso, t começa a contar das 13:00, então 16:00 corresponde a t = 3 e 19:00 a t = 6 . Portanto, os limites da integral são a = 3 e b = 6 .