Calcule a integral tripla.
integral triplaE y z d V, onde
E=(x, y, z) mid 0 <= z <= 1,0 <= y <= 2 z, 0 <= x <= z+2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla de ,y,z sobre o sólido
E = (x,y,z)mid 0 <= z <= 1,; 0 <= y <= 2z,; 0 <= x <= z+2
O conteúdo principal é o Teorema de Fubini para integrais múltiplas, que nos permite avaliar
integral triplaE y z ,dV
como uma integral iterada nas variáveis x,y,z.

Passo 2

Escolhemos a ordem de integração
integralz=0^1;integraly=0^2z;integralx=0^,z+2 y,z ;dx;dy;dz
Primeiro integramos em x, tratando y e z como constantes:
integralx=0^,z+2 y,z ;dx = y,z ,l[xr]0^z+2 = y,z,(z+2)

Passo 3

Agora a integral fica
integralz=0^1;integraly=0^2z y,z,(z+2);dy;dz
Dentro, z e (z+2) são constantes em relação a y, então
integraly=0^2z y,z,(z+2);dy = z,(z+2),integral0^2z y;dy = z,(z+2),l[tfrac12y^2r]0^2z = z,(z+2),tfrac12(2z)^2 = z,(z+2),2z^2
Simplificando:
z,(z+2),2z^2 = 2z^3(z+2) = 2z^4 + 4z^3

Passo 4

Falta integrar em z:
integralz=0^1l(2z^4 + 4z^3r),dz = 2integral0^1z^4,dz + 4integral0^1z^3,dz = 2l[tfracz^55r]0^1 +4l[tfracz^44r]0^1 = 2cdottfrac15 +4cdottfrac14 = tfrac25 +1

Resposta

integral triplaE y,z ,dV = tfrac75

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