Derive.
y=(10 x^3+7 x-2)(2-x^3)

Passo 1

Beleza, o exercício diz: “Derive
y = l(10x^3 + 7x - 2r),(2 - x^3)
O conteúdo é Derivadas, mais precisamente a Regra do Produto (porque temos duas funções multiplicadas).
Pra resolver vamos precisar de:
  • Derivada de x^n: ddxx^n = n,x^n-1.
  • Derivada de soma e constante.
  • Regra do Produto: (fcdot g)' = f',g + f,g'.

Passo 2

Primeiro, identificamos as duas funções:
f(x) = 10x^3 + 7x - 2, g(x) = 2 - x^3
A Regra do Produto diz que
y' = (fcdot g)' = f'(x),g(x) + f(x),g'(x)

Passo 3

Agora calculamos cada derivada:
  • f'(x) = ddx(10x^3) + ddx(7x) + ddx(-2) = 30x^2 + 7 + 0 = 30x^2 + 7
  • g'(x) = ddx(2) + ddx(-x^3) = 0 - 3x^2 = -3x^2

Passo 4

Substituindo na Regra do Produto:
y' = (30x^2 + 7),(2 - x^3) ;+; (10x^3 + 7x - 2),(-3x^2)

Passo 5

Vamos simplificar passo a passo:
  1. Expande (30x^2 + 7)(2 - x^3):
30x^2cdot2 + 30x^2cdot(-x^3) + 7cdot2 + 7cdot(-x^3) = 60x^2 - 30x^5 + 14 - 7x^3
  1. Expande (10x^3 + 7x - 2)(-3x^2):
-3x^2cdot10x^3 -3x^2cdot7x + (-3x^2)cdot(-2) = -30x^5 -21x^3 + 6x^2
  1. Soma tudo:
y' = (-30x^5 -30x^5) + (-7x^3 -21x^3) + (60x^2 +6x^2) + 14
y' = -60x^5 -28x^3 +66x^2 +14

Resposta

boxedy' = -60x^5 ;-; 28x^3 ;+; 66x^2 ;+; 14

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