Exercício 3: Calcule e justifique a existência (ou inexistência) dos limites das funções:
lim x 3 2 x^2-5 x-3x^2-2 x-3

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto32x^2-5x-3x^2-2x-3
Trata-se de uma função racional. Para limites de funções racionais, se a substituição direta em x=3 não for uma forma indeterminada, o limite é simplesmente o valor da substituição. Caso contrário, quando surgir a forma tfrac00, precisamos usar fatoração (ou outro método) para simplificar a expressão e remover a indeterminação.

Passo 2

Vamos tentar substituir x=3 diretamente em numerador e denominador:
Numerador:
2cdot3^2-5cdot3-3 = 18 -15 -3 = 0
Denominador:
3^2-2cdot3-3 = 9 -6 -3 = 0
Obtemos a forma indeterminada tfrac00, então é preciso fatorar.

Passo 3

Fatoramos numerador e denominador:
2x^2-5x-3 = (2x+1)(x-3),
x^2-2x-3 = (x-3)(x+1)

Passo 4

Como há o fator comum (x-3) em cima e embaixo, para xneq3 podemos simplificar:
2x^2-5x-3x^2-2x-3 = (2x+1)(x-3)(x-3)(x+1) = 2x+1x+1
A função simplificada 2x+1x+1 é contínua em x=3, o que garante a existência do limite.

Passo 5

Agora basta substituir x=3 na forma simplificada:
limxto32x+1x+1 = 2cdot3+13+1 = 74

Resposta

limxto32x^2-5x-3x^2-2x-3 = 74

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