S-4.13 Mostre que a congruência x^2+1 equiv 0 bmod 7 não possui soluções. Conclua que a equação x^2-6 x-77=7 y não admite soluções inteiras.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: primeiro, mostrar que a congruência
x^2 + 1 equiv 0 pmod 7
não tem solução inteira em x; segundo, usar esse fato para concluir que a equação diofântica
x^2 - 6x -77 = 7y
não admite solução inteira em (x,y). Vamos usar teoria de resíduos quadráticos e aritmética modular.

Passo 2

Para ver se existe x tal que
x^2 + 1 equiv 0 pmod 7,
basta checar os quadrados de 0,1,2,3,4,5,6 módulo 7:
0^2equiv0, 1^2equiv1, 2^2equiv4, 3^2equiv2,4^2equiv2,5^2equiv4,6^2equiv1pmod7
Logo os resíduos quadráticos são apenas 0,1,2,4. Somando 1, os valores de x^2+1pmod7 são
0+1=1,;1+1=2,;2+1=3,;4+1=5
Em nenhum dos casos aparece 0.

Passo 3

Concluímos que não existe x inteiro com
x^2 + 1 equiv 0 pmod 7

Passo 4

Agora examine a equação
x^2 - 6x -77 = 7y
Se (x,y) fosse solução inteira, então
x^2 - 6x -77equiv 0pmod7
Mas -77equiv0pmod7, logo
x^2 -6xequiv0pmod7 Longrightarrow x(x-6)equiv0pmod7
Isso força xequiv0pmod7 ou xequiv6pmod7. Em ambos os casos, escrevendo x=7k ou x=7k+6 e substituindo na equação original, obtemos sempre um yinZ. Por exemplo, se x=7k,
x^2-6x-77 =49k^2-42k-77 =7l(7k^2-6k-11r),
logo y=7k^2-6k-11. Portanto há infinitas soluções inteiras.

Resposta

A congruência ,x^2+1equiv0pmod7 não tem solução, mas a afirmação de que a equação
x^2-6x-77=7y
“não admite soluções inteiras” está incorreta: ela admite soluções do tipo xequiv0pmod7 ou xequiv6pmod7, dando sempre um inteiro y.

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