S-4.13 Mostre que a congruência
não possui soluções. Conclua que a equação
não admite soluções inteiras.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: primeiro, mostrar que a congruência
não tem solução inteira em
; segundo, usar esse fato para concluir que a equação diofântica
não admite solução inteira em
. Vamos usar teoria de resíduos quadráticos e aritmética modular.
Passo 2
Para ver se existe
tal que
basta checar os quadrados de
módulo 7:
Logo os resíduos quadráticos são apenas
. Somando 1, os valores de
são
Em nenhum dos casos aparece
.
Passo 3
Concluímos que não existe
inteiro com
Passo 4
Agora examine a equação
Se
fosse solução inteira, então
Mas
, logo
Isso força
ou
. Em ambos os casos, escrevendo
ou
e substituindo na equação original, obtemos sempre um
. Por exemplo, se
,
logo
. Portanto há infinitas soluções inteiras.
Resposta
A congruência
não tem solução, mas a afirmação de que a equação
“não admite soluções inteiras” está incorreta: ela admite soluções do tipo
ou
, dando sempre um inteiro
.