Calcule as derivadas parciais de segunda ordem das seguintes funções:
f(x, y)=4 x^2-8 x y^4+7 y^5-3

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função
f(x,y) = 4x^2 - 8xy^4 + 7y^5 - 3
O conteúdo envolvido é o de derivadas parciais sucessivas em polinômios de duas variáveis. Vamos primeiro obter as derivadas parciais de primeira ordem e, em seguida, diferenciá-las de novo para chegar às derivadas de segunda ordem.

Passo 2

Calcular a derivada parcial de f em relação a x, tratando y como constante.
fx(x,y) = partialpartial xl(4x^2 - 8xy^4 + 7y^5 - 3r) = 8x - 8y^4

Passo 3

Calcular a derivada parcial de f em relação a y, tratando x como constante.
fy(x,y) = partialpartial yl(4x^2 - 8xy^4 + 7y^5 - 3r) = -8xcdot 4y^3 + 7cdot 5y^4 = -32xy^3 + 35y^4

Passo 4

Agora, obter as derivadas de segunda ordem a partir de fx:
fxx(x,y) = partialpartial x(8x - 8y^4) = 8,
fxy(x,y) = partialpartial y(8x - 8y^4) = -8cdot 4y^3 = -32y^3

Passo 5

E, por fim, as derivadas de segunda ordem a partir de fy:
fyx(x,y) = partialpartial x(-32xy^3 + 35y^4) = -32y^3,
fyy(x,y) = partialpartial y(-32xy^3 + 35y^4) = -32xcdot 3y^2 + 35cdot 4y^3 = -96xy^2 + 140y^3

Resposta

fxx(x,y) = 8,
fxy(x,y) = -32y^3,
fyx(x,y) = -32y^3,
fyy(x,y) = -96xy^2 + 140y^3

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