Calcule as derivadas parciais de segunda ordem das seguintes funções:
f(x, y)=x e^2 y

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de segunda ordem da função
f(x,y)=x e^2y
O conteúdo envolvido é cálculo de derivadas parciais, onde primeiro achamos as derivadas de primeira ordem e depois derivamos novamente em relação a cada variável.

Passo 2

Para obter as derivadas parciais de primeira ordem, tratamos uma variável como constante enquanto derivamos em relação à outra. Assim,
fx(x,y)=partialpartial xl(x e^2yr)=e^2y,
fy(x,y)=partialpartial yl(x e^2yr)=xcdot 2 e^2y=2x e^2y

Passo 3

Agora calculamos as derivadas de segunda ordem envolvendo derivação em x:
fxx(x,y)=partialpartial xl(fx(x,y)r) =partialpartial xl(e^2yr)=0,
fxy(x,y)=partialpartial yl(fx(x,y)r) =partialpartial yl(e^2yr)=2 e^2y

Passo 4

Em seguida, derivamos as primeiras parciais em relação a x e y conforme indicado:
fyx(x,y)=partialpartial xl(fy(x,y)r) =partialpartial xl(2x e^2yr)=2 e^2y,
fyy(x,y)=partialpartial yl(fy(x,y)r) =partialpartial yl(2x e^2yr)=2xcdot2 e^2y=4x e^2y

Passo 5

Note que fxy(x,y)=2 e^2y=fyx(x,y), conforme o teorema de Clairaut sobre igualdade das derivadas mistas, sempre que a função seja suficientemente suave, o que é o caso aqui.

Resposta

fxx(x,y)=0, fxy(x,y)=2 e^2y, fyx(x,y)=2 e^2y, fyy(x,y)=4x e^2y

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