Calcule as derivadas parciais de segunda ordem das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede as derivadas parciais de segunda ordem da função
O conteúdo envolvido é cálculo de derivadas parciais, onde primeiro achamos as derivadas de primeira ordem e depois derivamos novamente em relação a cada variável.
Passo 2
Para obter as derivadas parciais de primeira ordem, tratamos uma variável como constante enquanto derivamos em relação à outra. Assim,
Passo 3
Agora calculamos as derivadas de segunda ordem envolvendo derivação em
:
Passo 4
Em seguida, derivamos as primeiras parciais em relação a
e
conforme indicado:
Passo 5
Note que
, conforme o teorema de Clairaut sobre igualdade das derivadas mistas, sempre que a função seja suficientemente suave, o que é o caso aqui.