16. AUTOVALORES E AUTOVETORES
- Determine os autovalores de:
- Determine os autovetores associados.
- Determine os autovalores de:
- Determine os autovetores associados.
- Determine o polinômio característico.
Passo 1
Vou listar exatamente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (peguei os dados textualmente do enunciado).
- Matrizes fornecidas:
- Primeira matriz
(essa é a matriz escrita como no enunciado). - Segunda matriz
(essa é a matriz escrita como no enunciado).
- Primeira matriz
- O enunciado pede:
- Determinar os autovalores de
. - Determinar os autovetores associados a
. - Determinar os autovalores de
. - Determinar os autovetores associados a
. - Determinar o polinômio característico (vou fornecer o polinômio característico de cada matriz:
e ).]
- Determinar os autovalores de
Passo 2
O que significa “autovalor” e “autovetor” — a regra prática que usaremos (aula rápida e direta).
- Definição: um número
é autovalor de uma matriz se existe um vetor não-nulo tal que
- Reescrevendo:
onde
é a matriz identidade (do mesmo tamanho de
).
- Observação central: para existir um vetor não-nulo
que satisfaça é necessário e suficiente que a matriz seja singular, isto é, tenha determinante zero. Portanto, os autovalores são as raízes do polinômio
que é o polinômio característico de
.
- Método prático que vou usar em cada caso:
- Calcular
. - Encontrar as raízes
(autovalores). - Para cada
, resolver o sistema linear para obter a família de autovetores (v não-nulo); normalmente parametrize as variáveis livres.
- Calcular
Passo 3
Calcular o polinômio característico de
e encontrar seus autovalores.
- Monto
:
- Determinante (polinômio característico):
- Raízes (autovalores): igualo a zero e resolvo
Portanto os autovalores de
são
e
.]
Passo 4
Encontrar os autovetores de
- Se
, o sistema é
Da segunda equação vem
(não impõe restrição), logo
é livre.
- Parametrizando: tome
com (vetor não-nulo). Um gerador conveniente para o espaço próprio é
- Conclusão: os autovetores associados a
são todos os múltiplos escalares de .]
Passo 5
Encontrar os autovetores de
- Sistema
com :
Da primeira equação vem
. Logo
é livre.
- Parametrizando: tome
com . Um gerador conveniente é
- Conclusão: os autovetores associados a
são todos os múltiplos escalares de .]
Passo 6
Observação prática (dica útil para a prova):
é diagonal; para uma matriz diagonal os autovalores são simplesmente as entradas diagonais e cada autovalor tem como autovetores os vetores com uma única coordenada não nula na posição correspondente. Isso agiliza muito quando aparecer matriz diagonal em prova.
Passo 7
Agora trabalho com
. Calcular o polinômio característico de
e encontrar os autovalores.
- Escrevo
:
- Determinante (polinômio característico):
- Raízes:
Portanto os autovalores de
são
e
.]
Passo 8
Encontrar autovetores de
- Sistema
com :
Ambas dão
é livre.
- Parametrizando: tome
com . Um gerador conveniente é
- Conclusão: os autovetores associados a
são todos os múltiplos de .]
Passo 9
Encontrar autovetores de
- Sistema
com :
Da primeira equação vem
. A segunda não impõe restrição adicional.
- Parametrizando: tome
. Então . Um gerador conveniente é
- Conclusão: os autovetores associados a
são todos os múltiplos de .]
Passo 10
Observação final pedagógica e resumo rápido:
- Para matrizes triangulares (como
), os autovalores aparecem nas entradas da diagonal (aqui e ). Isso é uma boa regra para usar rapidamente na prova. - Em ambos os casos cada autovalor tem multiplicidade algébrica
e a multiplicidade geométrica (dimensão do espaço próprio) também deu , como é comum em matrizes diagonais ou triangulares com entradas diagonais distintas.
Resposta
Autovalores de
:
Autovetores de :
Autovetores de
Autovalores de
Autovetores de
Polinômios característicos: