13-) A partir da função de onda do problema 9 mostre que a combinação linear:
\psi(x, t)=c_{1} \psi_{1}(x, t)+c_{2} \psi_{2}(x, t)
também é solução, ajustando-se os parâmetros \mathrm{c}_{1} \mathrm{e} \mathrm{c}_{2}.

Passo 1

O enunciado diz que as funções \psi_{1}(x,t) e \psi_{2}(x,t) são soluções da equação de Schrödinger dependente do tempo, ou seja, cada uma satisfaz
i\hbar\,\frac{\partial \psi_{i}}{\partial t} = \hat H\,\psi_{i},\quad i=1,2,
onde \hat H é o operador Hamiltoniano. Queremos mostrar que
\psi(x,t)=c_{1}\,\psi_{1}(x,t)+c_{2}\,\psi_{2}(x,t)
também satisfaz essa mesma equação, ao escolhermos constantes adequadas c_{1} e c_{2}.

Passo 2

Escrevemos a equação de Schrödinger para a combinação linear \psi(x,t):
i\hbar\,\frac{\partial}{\partial t}\bigl(c_{1}\psi_{1}+c_{2}\psi_{2}\bigr) =\hat H\bigl(c_{1}\psi_{1}+c_{2}\psi_{2}\bigr).
Como c_{1} e c_{2} são constantes (independentes de x e t), podemos tirá-los para fora das derivadas e do operador.

Passo 3

Aplicando a derivada temporal e o Hamiltoniano, obtemos
i\hbar\Bigl(c_{1}\frac{\partial \psi_{1}}{\partial t}+c_{2}\frac{\partial \psi_{2}}{\partial t}\Bigr) = c_{1}\,\hat H\psi_{1}+c_{2}\,\hat H\psi_{2}.
Mas sabemos que cada \psi_{i} satisfaz i\hbar\,\partial_{t}\psi_{i}=\hat H\psi_{i}. Logo
i\hbar\,\frac{\partial \psi}{\partial t} = c_{1}\,\hat H\psi_{1}+c_{2}\,\hat H\psi_{2} = \hat H\bigl(c_{1}\psi_{1}+c_{2}\psi_{2}\bigr) = \hat H\,\psi.

Passo 4

Concluímos que \psi(x,t)=c_{1}\psi_{1}+c_{2}\psi_{2} satisfaz a equação de Schrödinger sempre que c_{1} e c_{2} forem constantes arbitrárias (complexas, em geral). Se quisermos também que \psi esteja normalizada ou cumpra condições de contorno, escolhemos c_{1} e c_{2} adequados a essas exigências.

Resposta

A combinação linear
\psi(x,t)=c_{1}\,\psi_{1}(x,t)+c_{2}\,\psi_{2}(x,t)
é solução da equação de Schrödinger para quaisquer constantes c_{1} e c_{2}, desde que elas sejam independentes de x e t.

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