13-) A partir da função de onda do problema 9 mostre que a combinação linear:
também é solução, ajustando-se os parâmetros
.
Passo 1
O enunciado diz que as funções
e
são soluções da equação de Schrödinger dependente do tempo, ou seja, cada uma satisfaz
onde
é o operador Hamiltoniano. Queremos mostrar que
também satisfaz essa mesma equação, ao escolhermos constantes adequadas
e
.
Passo 2
Escrevemos a equação de Schrödinger para a combinação linear
:
Como
e
são constantes (independentes de
e
), podemos tirá-los para fora das derivadas e do operador.
Passo 3
Aplicando a derivada temporal e o Hamiltoniano, obtemos
Mas sabemos que cada
satisfaz
. Logo
Passo 4
Concluímos que
satisfaz a equação de Schrödinger sempre que
e
forem constantes arbitrárias (complexas, em geral). Se quisermos também que
esteja normalizada ou cumpra condições de contorno, escolhemos
e
adequados a essas exigências.
Resposta
A combinação linear
é solução da equação de Schrödinger para quaisquer constantes
e
, desde que elas sejam independentes de
e
.