Um carro parte do repouso e percorre uma trajetória circular de raio R. O carro acelera com uma aceleração constante a. (a) Qual o módulo da sua aceleração linear resultante, depois de transcorrido um tempo t? (b) Que ângulo o vetor aceleração resultante (considerando suas componentes tangencial e radial) faz com o vetor velocidade do carro nesse instante?

Passo 1

O enunciado descreve um carro que parte do repouso e se desloca em uma trajetória circular de raio R, com aceleração tangencial constante a. Queremos:
  • (a) o módulo da aceleração total do carro depois de um tempo t;
  • (b) o ângulo \theta entre o vetor aceleração resultante e o vetor velocidade nesse instante.
    Para isso precisamos usar que, em movimento circular não uniforme, a aceleração total é a soma vetorial da componente tangencial (constante e igual a a) e da componente radial (centrípeta), dada por a_{\rm r} = v^2/R.

Passo 2

Primeiro determinamos a velocidade tangencial em função do tempo. Como a única aceleração ao longo da direção da velocidade é a, temos
v(t) = a\,t.
Em seguida, a aceleração radial (centrípeta) vale
a_{\rm r} = \frac{v^2}{R} = \frac{(a\,t)^2}{R} = \frac{a^2\,t^2}{R}.

Passo 3

A aceleração total \vec a_{\rm res} é a soma ortogonal de \vec a_{\rm t} (tangencial, de módulo a) e \vec a_{\rm r} (radial, de módulo a_{\rm r}). Logo o módulo fica
a_{\rm res} = \sqrt{a^2 + a_{\rm r}^2} = \sqrt{a^2 + \Bigl(\frac{a^2\,t^2}{R}\Bigr)^{2}} = a \,\sqrt{1 + \Bigl(\frac{a\,t^2}{R}\Bigr)^{2}}.

Passo 4

Para o ângulo \theta entre \vec a_{\rm res} e o vetor velocidade \vec v, note que \vec v é tangencial, e a componente de \vec a_{\rm res} perpendicular a \vec v é justamente a_{\rm r}. Assim
\tan\theta = \frac{a_{\rm r}}{a_{\rm t}} = \frac{\tfrac{a^2\,t^2}{R}}{a} = \frac{a\,t^2}{R},
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\theta = \arctan\!\Bigl(\frac{a\,t^2}{R}\Bigr).

Resposta

(a) \displaystyle a_{\rm res} = a \,\sqrt{1 + \bigl(\tfrac{a\,t^2}{R}\bigr)^{2}}.
(b) \displaystyle \theta = \arctan\!\bigl(\tfrac{a\,t^2}{R}\bigr).

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