Questão 2) (3,0) seja uma função escalar \varphi(x, y)
\varphi(x, y)=e^{x^{2}+y^{2}}
Calcule \vec{\nabla} \cdot(\vec{\nabla} \varphi)

Passo 1

O enunciado dá a função escalar \varphi(x,y)=e^{x^{2}+y^{2}} e pede \nabla\!\cdot(\nabla\varphi).
O conteúdo envolvido é o cálculo do gradiente de \varphi, seguido da divergência desse gradiente, que é justamente o laplaciano de \varphi.

Passo 2

Primeiro encontramos o gradiente \nabla\varphi=(\varphi_{x},\varphi_{y}).
Usando derivada parcial em x:
\varphi_{x}=\frac{\partial}{\partial x}e^{x^{2}+y^{2}} =2x\,e^{x^{2}+y^{2}}.
Em y:
\varphi_{y}=\frac{\partial}{\partial y}e^{x^{2}+y^{2}} =2y\,e^{x^{2}+y^{2}}.

Passo 3

Agora calculamos as segundas derivadas \varphi_{xx} e \varphi_{yy}.
Para \varphi_{xx}, derivamos \varphi_{x}=2x\,e^{x^{2}+y^{2}} em relação a x:
\varphi_{xx} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2x\,e^{x^{2}+y^{2}}\bigr) =2\,e^{x^{2}+y^{2}}+2x\cdot(2x\,e^{x^{2}+y^{2}}) =(4x^{2}+2)e^{x^{2}+y^{2}}.
Para \varphi_{yy}, de modo análogo:
\varphi_{yy} =(4y^{2}+2)e^{x^{2}+y^{2}}.

Passo 4

A divergência do gradiente é soma das segundas derivadas:
\nabla\!\cdot(\nabla\varphi) =\varphi_{xx}+\varphi_{yy} =\bigl(4x^{2}+2\bigr)e^{x^{2}+y^{2}} +\bigl(4y^{2}+2\bigr)e^{x^{2}+y^{2}} =(4x^{2}+4y^{2}+4)\,e^{x^{2}+y^{2}}.
Fatorando:
\nabla\!\cdot(\nabla\varphi) =4\bigl(x^{2}+y^{2}+1\bigr)\,e^{x^{2}+y^{2}}.

Resposta

\nabla\!\cdot(\nabla\varphi) =4\bigl(x^{2}+y^{2}+1\bigr)\,e^{x^{2}+y^{2}}.

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