Questão 3) (3,0) Considere os campos elétricos e magnéticos no vácuo, sem cargas e sem corrente.
\begin{aligned} & \vec{E}(z, t)=t E_{0} e^{(A x-\omega t)} \\\ & \vec{B}(z, t)=j B_{0} e^{(A x-\omega t)} \end{aligned}
a) Escolha um dos dois campos e mostre a condição para que ele seja solução da equação de onda
\left(\nabla^{2}-\mu_{0} \varepsilon_{0} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}\right) \vec{u}=0
b) Use a Lei de Ampère e mostre que
B_{0}=\frac{E_{0}}{c}

Passo 1

O enunciado dá ondas eletromagnéticas no vácuo, sem cargas nem correntes, descritas por \vec{E}(z,t)=\hat{\imath}\,E_{0}\,e^{(A z-\omega t)}
e \vec{B}(z,t)=\hat{\jmath}\,B_{0}\,e^{(A z-\omega t)}.
Pede-se:
a) mostrar que \vec{E} satisfaz
\bigl(\nabla^{2}-\mu_{0}\varepsilon_{0}\,\partial^{2}_{t}\bigr)\vec{E}=0
e obter a condição de dispersão;
b) usar a Lei de Ampère–Maxwell
\nabla\times\vec{B}=\mu_{0}\varepsilon_{0}\,\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}
para mostrar que B_{0}=E_{0}/c.

Passo 2

Como \vec{E}=\hat{\imath}E_{0}e^{(A z-\omega t)} depende só de z e t,
\nabla^{2}\vec{E} =\frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}\bigl(\hat{\imath}E_{0}e^{(A z-\omega t)}\bigr) =\hat{\imath}E_{0}A^{2}e^{(A z-\omega t)} = A^{2}\,\vec{E},
\frac{\partial^{2}\vec{E}}{\partial t^{2}} =\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}\bigl(\hat{\imath}E_{0}e^{(A z-\omega t)}\bigr) =\hat{\imath}E_{0}(-\omega)^{2}e^{(A z-\omega t)} =\omega^{2}\,\vec{E}.

Passo 3

Substituindo na equação de onda em vácuo,
\bigl(\nabla^{2}-\mu_{0}\varepsilon_{0}\,\partial^{2}_{t}\bigr)\vec{E} =(A^{2}-\mu_{0}\varepsilon_{0}\,\omega^{2})\,\vec{E}=0
para solução não trivial, deve valer
A^{2}=\mu_{0}\varepsilon_{0}\,\omega^{2}.

Passo 4

Para a Lei de Ampère–Maxwell, calcule \nabla\times\vec{B} e \partial\vec{E}/\partial t. Como \vec{B}=\hat{\jmath}B_{0}e^{(A z-\omega t)},
\nabla\times\vec{B} =\hat{\imath}\,\frac{\partial}{\partial z}\bigl(B_{0}e^{(A z-\omega t)}\bigr) =\hat{\imath}\,A\,B_{0}e^{(A z-\omega t)},
e
\frac{\partial\vec{E}}{\partial t} =\hat{\imath}\,\frac{\partial}{\partial t}\bigl(E_{0}e^{(A z-\omega t)}\bigr) =\hat{\imath}\,(-\omega)\,E_{0}e^{(A z-\omega t)}.

Passo 5

Igualando as componentes em \hat{\imath}:
A\,B_{0} =\mu_{0}\varepsilon_{0}\,(-\omega)\,E_{0} \quad\Longrightarrow\quad B_{0} =\mu_{0}\varepsilon_{0}\,\frac{\omega}{A}\,E_{0}.
Usando \mu_{0}\varepsilon_{0}=1/c^{2} e A=\omega\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}}=\omega/c, vem
B_{0} =\frac{1}{c^{2}}\frac{\omega}{\omega/c}\,E_{0} =\frac{E_{0}}{c}.

Resposta

a) A^{2}=\mu_{0}\varepsilon_{0}\,\omega^{2}.
b) B_{0}=\dfrac{E_{0}}{c}.

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