Uma moeda de massa m é colocada a uma distância R do centro de um prato de um toca discos. O coeficiente de atrito estático é \mu_{\mathrm{s}}. A velocidade angular do toca discos vai aumentando lentamente até que, quando, neste instante, a moeda escorrega para fora do prato. Determine \mu_{\mathrm{s}} em função das grandezas m, R, g e a velocidade angular do toca discos.

Passo 1

O enunciado diz que uma moeda de massa m está sobre um prato giratório a distância R do eixo, e o coeficiente de atrito estático entre moeda e prato é \mu_{s}. A velocidade angular \omega do prato aumenta lentamente até, no instante em que \omega atinge certo valor, a moeda escorregar radialmente para fora. O conteúdo aqui é dinâmica do movimento circular com atrito estático. Para resolver, vamos equilibrar a força centrípeta necessária com a máxima força de atrito estático.

Passo 2

Descrevendo as forças sobre a moeda no referencial do prato (quase inercial, pois aceleração tangencial é desprezível ao aumentar lentamente):
  • Peso: \vec P = m\,\vec g vertical para baixo.
  • Reação normal: \vec N vertical para cima, com magnitude N = m\,g.
  • Força de atrito estático: \vec f horizontal, apontando para o centro, com valor máximo
f_{\max} = \mu_{s}\,N = \mu_{s}\,m\,g.

Passo 3

No instante em que começa a escorregar, a força de atrito estático atinge seu valor máximo e fornece toda a força centrípeta necessária para manter a moeda em movimento circular uniforme. A componente radial da segunda lei de Newton (ou condição de força centrípeta) dá:
m\,\frac{v^{2}}{R} = f_{\max},
onde v é a velocidade linear da moeda. Mas v = \omega\,R, logo
m\,\frac{(\omega\,R)^{2}}{R} = \mu_{s}\,m\,g.

Passo 4

Simplificando a expressão acima:
m\,\omega^{2}\,R = \mu_{s}\,m\,g \quad\Longrightarrow\quad \mu_{s} = \frac{m\,\omega^{2}\,R}{m\,g} = \frac{\omega^{2}\,R}{g}.

Resposta

\displaystyle \mu_{s} = \frac{\omega^{2}\,R}{g}.

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