13- Um pesquisador está analisando um experimento aleatório, em sua análise ele está calculando a probabilidade de dois eventos, o evento V e o Z. Ele notou que a P[V U Z]=P[V]+P[Z], com essa informação é possível ele afirmar que os eventos em estudo são independentes? Por quê?

Passo 1

O enunciado dá a informação \;P[V \cup Z]=P[V]+P[Z]\; e pergunta se, com isso, o pesquisador pode afirmar que os eventos V e Z são independentes, pedindo a razão.\n
Informações relevantes extraídas do enunciado:\n
  • Temos a igualdade \;P[V \cup Z]=P[V]+P[Z].\n
  • Não há outras informações numéricas sobre \;P[V] ou \;P[Z] nem sobre \;P[V\cap Z].\n
  • A pergunta é se essa igualdade implica independência entre V e Z e por quê.

Passo 2

Lembrete importante (fórmula de inclusão-exclusão):\n
P[V \cup Z] = P[V] + P[Z] - P[V \cap Z]\n
Expliquei a fórmula: aqui \;P[V \cup Z] é a probabilidade de que ocorra V ou Z (ou ambos), \;P[V] e \;P[Z] são as probabilidades individuais, e \;P[V \cap Z] é a probabilidade de ambos ocorrerem simultaneamente. A fórmula corrige a soma das probabilidades individuais subtraindo a interseção para não contá-la duas vezes.

Passo 3

Agora substituímos a igualdade do enunciado na fórmula de inclusão-exclusão. Temos que \;P[V \cup Z]=P[V]+P[Z], então:\n
P[V]+P[Z] = P[V] + P[Z] - P[V \cap Z].\n
Subtraindo \;P[V]+P[Z] dos dois lados obtemos:\n
0 = - P[V \cap Z],\n
ou seja
P[V \cap Z] = 0.

Passo 4

Interpretação dessa conclusão: \;P[V \cap Z]=0 significa que os eventos V e Z são mutuamente exclusivos (ou disjuntos) — eles não podem ocorrer juntos com probabilidade positiva. Em linguagem simples: a chance de ambos acontecerem ao mesmo tempo é zero.

Passo 5

Agora trago a definição de independência (essencial para a pergunta):\n
Dois eventos V e Z são independentes se, e somente se,\n
P[V \cap Z] = P[V]\;P[Z].\n
Aqui \;P[V]\;P[Z] é o produto das probabilidades individuais; a independência diz que a probabilidade de ocorrerem juntos é exatamente esse produto.

Passo 6

Comparemos a condição que obtivemos ( \;P[V \cap Z]=0) com a condição de independência ( \;P[V \cap Z]=P[V]P[Z]). Para que ambas sejam verdadeiras temos que\n
0 = P[V]P[Z].\n
Isso implica que pelo menos uma das probabilidades \;P[V] ou \;P[Z] deve ser igual a zero (ou ambas). Portanto, a igualdade do enunciado só garante independência no caso trivial em que \;P[V]=0 ou \;P[Z]=0.

Passo 7

Exemplos para fixar a ideia (muito prático para prova):\n
  • Exemplo que mostra que não é suficiente para afirmar independência: lance um dado justo. Tome \;V=\{1\} e \;Z=\{2\}. Então \;P[V]=P[Z]=\tfrac{1}{6}, \;P[V\cap Z]=0 e \;P[V\cup Z]=\tfrac{1}{3}=P[V]+P[Z]. Mesmo assim \;P[V]P[Z]=\tfrac{1}{36}\neq0, logo V e Z não são independentes.\n
  • Exemplo em que a igualdade implica independência: se \;P[V]=0 (por exemplo V é o evento impossível), então \;P[V\cap Z]=0 e \;P[V]P[Z]=0, logo são independentes — mas este é um caso trivial.

Passo 8

Regra prática (dica de prova): se na prova você encontrar \;P[A\cup B]=P[A]+P[B], deduza primeiro \;P[A\cap B]=0. Depois verifique independência calculando P[A]P[B]. Se P[A]P[B]=0 então são independentes (caso trivial); se P[A]P[B]>0 então não são independentes. Não confunda “mutuamente exclusivos” com “independentes”: são conceitos diferentes, e a exclusão (interseção nula) não implica independência exceto no caso citado.

Resposta

Não necesariamente. A igualdade implica \;P[V\cap Z]=0 (os eventos são mutuamente exclusivos), mas independência exige \;P[V\cap Z]=P[V]P[Z]; portanto só são independentes se \;P[V]P[Z]=0, isto é, se \;P[V]=0 ou \;P[Z]=0 (caso trivial).

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