13- Um pesquisador está analisando um experimento aleatório, em sua análise ele está calculando a probabilidade de dois eventos, o evento V e o Z. Ele notou que a
, com essa informação é possível ele afirmar que os eventos em estudo são independentes? Por quê?
Passo 1
O enunciado dá a informação
e pergunta se, com isso, o pesquisador pode afirmar que os eventos
e
são independentes, pedindo a razão.\n
Informações relevantes extraídas do enunciado:\n
Informações relevantes extraídas do enunciado:\n
- Temos a igualdade
.\n - Não há outras informações numéricas sobre
ou nem sobre .\n - A pergunta é se essa igualdade implica independência entre
e e por quê.
Passo 2
Lembrete importante (fórmula de inclusão-exclusão):\n
Expliquei a fórmula: aqui
é a probabilidade de que ocorra
ou
(ou ambos),
e
são as probabilidades individuais, e
é a probabilidade de ambos ocorrerem simultaneamente. A fórmula corrige a soma das probabilidades individuais subtraindo a interseção para não contá-la duas vezes.
Passo 3
Agora substituímos a igualdade do enunciado na fórmula de inclusão-exclusão. Temos que
, então:\n
Subtraindo
dos dois lados obtemos:\n
ou seja
Passo 4
Interpretação dessa conclusão:
significa que os eventos
e
são mutuamente exclusivos (ou disjuntos) — eles não podem ocorrer juntos com probabilidade positiva. Em linguagem simples: a chance de ambos acontecerem ao mesmo tempo é zero.
Passo 5
Agora trago a definição de independência (essencial para a pergunta):\n
Dois eventos e
são independentes se, e somente se,\n
Dois eventos
Aqui
é o produto das probabilidades individuais; a independência diz que a probabilidade de ocorrerem juntos é exatamente esse produto.
Passo 6
Comparemos a condição que obtivemos (
) com a condição de independência (
). Para que ambas sejam verdadeiras temos que\n
Isso implica que pelo menos uma das probabilidades
ou
deve ser igual a zero (ou ambas). Portanto, a igualdade do enunciado só garante independência no caso trivial em que
ou
.
Passo 7
Exemplos para fixar a ideia (muito prático para prova):\n
- Exemplo que mostra que não é suficiente para afirmar independência: lance um dado justo. Tome
e . Então , e . Mesmo assim , logo e não são independentes.\n - Exemplo em que a igualdade implica independência: se
(por exemplo é o evento impossível), então e , logo são independentes — mas este é um caso trivial.
Passo 8
Regra prática (dica de prova): se na prova você encontrar
, deduza primeiro
. Depois verifique independência calculando
. Se
então são independentes (caso trivial); se
então não são independentes. Não confunda “mutuamente exclusivos” com “independentes”: são conceitos diferentes, e a exclusão (interseção nula) não implica independência exceto no caso citado.
Resposta
Não necesariamente. A igualdade implica
(os eventos são mutuamente exclusivos), mas independência exige
; portanto só são independentes se
, isto é, se
ou
(caso trivial).