Três moedas são lançadas e o resultado é cara (C) ou coroa (K). Qual é o experimento? É aleatório?
Temos o seguinte espaço amostral:
\Omega=\{\mathrm{CCC}, \mathrm{CCK}, \mathrm{CKC}, \mathrm{KCC}, \mathrm{CKK}, \mathrm{KCK}, \mathrm{KKC}, \mathrm{KKK}\}
Temos que:
A: escolher pelo menos 2 caras;
B: escolher no máximo 1 coroa.
Calcule a probabilidade de A e B, ou seja, \mathrm{P}[\mathrm{A}] e \mathrm{P}[\mathrm{B}].

Passo 1

O enunciado descreve um experimento em que três moedas são lançadas e cada moeda resulta em cara (C) ou coroa (K). O espaço amostral fornecido pelo enunciado é
\Omega=\{\mathrm{CCC},\\ \mathrm{CCK},\\ \mathrm{CKC},\\ \mathrm{KCC},\\ \mathrm{CKK},\\ \mathrm{KCK},\\ \mathrm{KKC},\\ \mathrm{KKK}\}.
As perguntas que o problema faz são:
  1. Calcular \mathrm{P}[A], onde A é o evento “escolher pelo menos 2 caras”.
  2. Calcular \mathrm{P}[B], onde B é o evento “escolher no máximo 1 coroa”.
As informações relevantes dadas pelo enunciado que vou usar são: o espaço amostral \Omega com os 8 resultados explícitos (peguei esse \Omega do enunciado), e a definição dos eventos A e B.

Passo 2

Vou explicar o que significa tratar esse experimento como aleatório e a hipótese implícita de equiprobabilidade. Quando lançamos moedas honestas (não viciadas), cada combinação de resultados das três moedas é igualmente provável. Como há 8 sequências possíveis em \Omega, cada uma tem probabilidade
\frac{1}{8}.
Essa é a hipótese de equiprobabilidade: se nada no enunciado indica moedas viciadas, assumimos que cada resultado de uma moeda tem probabilidade \tfrac{1}{2} e, como os lançamentos são independentes, cada sequência de três resultados tem probabilidade (\tfrac{1}{2})^3=\tfrac{1}{8}. Isso justifica usar o contador “favoráveis / total” para obter probabilidades.

Passo 3

Vou traduzir os eventos A e B em termos de contagem de caras ( \mathrm{C}) ou coroas ( \mathrm{K}):
  • Evento A: “pelo menos 2 caras” significa ter exatamente 2 caras ou exatamente 3 caras.
  • Evento B: “no máximo 1 coroa” significa ter 0 coroas ou 1 coroa. Note que ter 0 ou 1 coroa corresponde a ter 3 ou 2 caras respectivamente. Portanto, intuitivamente A e B parecem ser o mesmo evento — vou confirmar listando os resultados.

Passo 4

Listagem dos resultados favoráveis ao evento A (pegando os elementos diretamente do \Omega):
  • Exatamente 3 caras: \mathrm{CCC}.
  • Exatamente 2 caras: \mathrm{CCK},\\ \mathrm{CKC},\\ \mathrm{KCC}.
Portanto o conjunto de resultados favoráveis a A é
A=\{\mathrm{CCC},\\ \mathrm{CCK},\\ \mathrm{CKC},\\ \mathrm{KCC}\}.
Contei 4 resultados favoráveis.
Explicação combinatória alternativa (útil na prova): o número de maneiras de ter exatamente k caras em 3 lançamentos é \binom{3}{k}. Assim
\#\{\text{2 caras}\}=\binom{3}{2}=3,\qquad \#\{\text{3 caras}\}=\binom{3}{3}=1,
logo o total favorável a “pelo menos 2 caras” é 3+1=4, que confere com a listagem.

Passo 5

Calcular \mathrm{P}[A]. Usando equiprobabilidade:
\mathrm{P}[A]=\frac{\#A}{\#\Omega}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}=0,5.
Explanação: \#A é o número de resultados favoráveis (aqui 4) e \#\Omega é 8. Simplificando a fração obtemos \tfrac{1}{2}.

Passo 6

Agora o evento B. Listando resultados favoráveis a B (pegando do \Omega):
  • 0 coroas (todas caras): \mathrm{CCC}.
  • 1 coroa: \mathrm{CCK},\\ \mathrm{CKC},\\ \mathrm{KCC}.
Logo
B=\{\mathrm{CCC},\\ \mathrm{CCK},\\ \mathrm{CKC},\\ \mathrm{KCC}\},
que é exatamente o mesmo conjunto que A. Portanto \#B=4.

Passo 7

Calcular \mathrm{P}[B]:
\mathrm{P}[B]=\frac{\#B}{\#\Omega}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}=0,5.
Observação final rápida (motivacional): aqui deu sorte — os dois eventos são idênticos, então têm a mesma probabilidade. Se ficar nervoso na prova, faça a listagem ou use \binom{3}{k} para contar; os dois jeitos dão a mesma resposta.

Resposta

\mathrm{P}[A]=\tfrac{1}{2}
\mathrm{P}[B]=\tfrac{1}{2}

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