Três moedas são lançadas e o resultado é cara (C) ou coroa (K). Qual é o experimento? É aleatório?
Temos o seguinte espaço amostral:
Temos que:
A: escolher pelo menos 2 caras;
B: escolher no máximo 1 coroa.
Calcule a probabilidade de A e B, ou seja,
e
.
A: escolher pelo menos 2 caras;
B: escolher no máximo 1 coroa.
Calcule a probabilidade de A e B, ou seja,
Passo 1
O enunciado descreve um experimento em que três moedas são lançadas e cada moeda resulta em cara (C) ou coroa (K). O espaço amostral fornecido pelo enunciado é
As perguntas que o problema faz são:
- Calcular
, onde é o evento “escolher pelo menos 2 caras”. - Calcular
, onde é o evento “escolher no máximo 1 coroa”.
As informações relevantes dadas pelo enunciado que vou usar são: o espaço amostral
com os
resultados explícitos (peguei esse
do enunciado), e a definição dos eventos
e
.
Passo 2
Vou explicar o que significa tratar esse experimento como aleatório e a hipótese implícita de equiprobabilidade. Quando lançamos moedas honestas (não viciadas), cada combinação de resultados das três moedas é igualmente provável. Como há
sequências possíveis em
, cada uma tem probabilidade
Essa é a hipótese de equiprobabilidade: se nada no enunciado indica moedas viciadas, assumimos que cada resultado de uma moeda tem probabilidade
e, como os lançamentos são independentes, cada sequência de três resultados tem probabilidade
. Isso justifica usar o contador “favoráveis / total” para obter probabilidades.
Passo 3
Vou traduzir os eventos
e
em termos de contagem de caras (
) ou coroas (
):
- Evento
: “pelo menos 2 caras” significa ter exatamente 2 caras ou exatamente 3 caras. - Evento
: “no máximo 1 coroa” significa ter 0 coroas ou 1 coroa. Note que ter 0 ou 1 coroa corresponde a ter 3 ou 2 caras respectivamente. Portanto, intuitivamente e parecem ser o mesmo evento — vou confirmar listando os resultados.
Passo 4
Listagem dos resultados favoráveis ao evento
(pegando os elementos diretamente do
):
- Exatamente 3 caras:
. - Exatamente 2 caras:
.
Portanto o conjunto de resultados favoráveis a
é
Contei
resultados favoráveis.
Explicação combinatória alternativa (útil na prova): o número de maneiras de ter exatamente
caras em
lançamentos é
. Assim
logo o total favorável a “pelo menos 2 caras” é
, que confere com a listagem.
Passo 5
Calcular
. Usando equiprobabilidade:
Explanação:
é o número de resultados favoráveis (aqui
) e
é
. Simplificando a fração obtemos
.
Passo 6
Agora o evento
. Listando resultados favoráveis a
(pegando do
):
- 0 coroas (todas caras):
. - 1 coroa:
.
Logo
que é exatamente o mesmo conjunto que
. Portanto
.
Passo 7
Calcular
:
Observação final rápida (motivacional): aqui deu sorte — os dois eventos são idênticos, então têm a mesma probabilidade. Se ficar nervoso na prova, faça a listagem ou use
para contar; os dois jeitos dão a mesma resposta.