- 13 Uma pessoa deseja chegar a um ponto que está a
da localização atual, em uma direção
ao norte do leste. As ruas por onde a pessoa pode passar são todas na direção norte-sul ou na direção leste-oeste. Qual é a menor distância que essa pessoa precisa percorrer para chegar ao destino?
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (tirei estes números do enunciado):
- A distância em linha reta até o destino é
. - A direção do destino é
ao norte do leste (ou seja, acima do eixo leste). - As ruas disponíveis são apenas na direção norte-sul ou leste-oeste (rede em grade).
O que o problema pede:
- Determinar a menor distância que a pessoa precisa percorrer seguindo apenas ruas norte-sul e leste-oeste para chegar ao destino.
Passo 2
Ideia geométrica e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
- A posição do destino em relação à posição atual pode ser vista como um vetor de comprimento
que forma um ângulo com o eixo leste (eixo ). - Podemos decompor esse vetor em duas componentes ortogonais: a componente leste-oeste (que chamarei de
) e a componente norte-sul (que chamarei de ). - As fórmulas trigonométricas básicas de decomposição são:
Aqui: -
é a distância em linha reta até o destino ( ); -
é o ângulo contado a partir do leste até a direção do destino ( ); -
e são as razões trigonométricas que dão, respectivamente, as frações de na direção horizontal e vertical.
-
- Porque as ruas são apenas leste-oeste e norte-sul, qualquer trajeto sem voltar atrás (monótono: primeiro leste depois norte, ou vice‑versa) terá comprimento igual a
. Esse é o menor possível entre trajetos em segmentos axiais: qualquer volta para trás só aumentaria a soma dos comprimentos. Formalmente, se um trajeto é composto por pequenos deslocamentos ao longo das ruas, o comprimento total é .
Passo 3
Calcular as componentes horizontais (leste) e verticais (norte) usando as fórmulas:
Usando aproximações usuais das razões trigonométricas (valores obtidos de tabela ou calculadora):
Passo 4
Multiplicar para obter os valores numéricos:
Passo 5
Agora a menor distância percorrida ao longo das ruas (trajeto sem voltar atrás) é a soma das componentes positivas:
Passo 6
Arredondando de acordo com os dados (os dados têm três algarismos significativos), apresentamos o resultado com três algarismos significativos: