• 13 Uma pessoa deseja chegar a um ponto que está a 3,40 \mathrm{~km} da localização atual, em uma direção 35,0^{\circ} ao norte do leste. As ruas por onde a pessoa pode passar são todas na direção norte-sul ou na direção leste-oeste. Qual é a menor distância que essa pessoa precisa percorrer para chegar ao destino?

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (tirei estes números do enunciado):
  • A distância em linha reta até o destino é 3,40\\ \text{km}.
  • A direção do destino é 35,0^\circ ao norte do leste (ou seja, 35,0^\circ acima do eixo leste).
  • As ruas disponíveis são apenas na direção norte-sul ou leste-oeste (rede em grade).
O que o problema pede:
  • Determinar a menor distância que a pessoa precisa percorrer seguindo apenas ruas norte-sul e leste-oeste para chegar ao destino.

Passo 2

Ideia geométrica e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
  • A posição do destino em relação à posição atual pode ser vista como um vetor de comprimento r=3,40\\ \text{km} que forma um ângulo \theta=35,0^\circ com o eixo leste (eixo x).
  • Podemos decompor esse vetor em duas componentes ortogonais: a componente leste-oeste (que chamarei de \Delta x) e a componente norte-sul (que chamarei de \Delta y).
  • As fórmulas trigonométricas básicas de decomposição são: \Delta x = r\cos\theta, \qquad \Delta y = r\sin\theta.Aqui:
    • r é a distância em linha reta até o destino ( 3,40\\ \text{km});
    • \theta é o ângulo contado a partir do leste até a direção do destino ( 35,0^\circ);
    • \cos\theta e \sin\theta são as razões trigonométricas que dão, respectivamente, as frações de r na direção horizontal e vertical.
  • Porque as ruas são apenas leste-oeste e norte-sul, qualquer trajeto sem voltar atrás (monótono: primeiro leste depois norte, ou vice‑versa) terá comprimento igual a |\Delta x|+|\Delta y|. Esse é o menor possível entre trajetos em segmentos axiais: qualquer volta para trás só aumentaria a soma dos comprimentos. Formalmente, se um trajeto é composto por pequenos deslocamentos (dx_i,dy_i) ao longo das ruas, o comprimento total é \sum_i(|dx_i|+|dy_i|)\ge |\sum_i dx_i|+|\sum_i dy_i|=|\Delta x|+|\Delta y|.

Passo 3

Calcular as componentes horizontais (leste) e verticais (norte) usando as fórmulas:
\Delta x = 3,40\cdot\cos\bigl(35,0^\circ\bigr), \qquad \Delta y = 3,40\cdot\sin\bigl(35,0^\circ\bigr).
Usando aproximações usuais das razões trigonométricas (valores obtidos de tabela ou calculadora):
\cos\bigl(35,0^\circ\bigr)\approx 0,819152, \qquad \sin\bigl(35,0^\circ\bigr)\approx 0,573576.

Passo 4

Multiplicar para obter os valores numéricos:
\Delta x \approx 3,40\cdot 0,819152 = 2,7851168\\ \text{km},
\Delta y \approx 3,40\cdot 0,573576 = 1,9501584\\ \text{km}.

Passo 5

Agora a menor distância percorrida ao longo das ruas (trajeto sem voltar atrás) é a soma das componentes positivas:
L_{\min}=|\Delta x|+|\Delta y|=\Delta x+\Delta y\approx 2,7851168+1,9501584=4,7352752\\ \text{km}.

Passo 6

Arredondando de acordo com os dados (os dados têm três algarismos significativos), apresentamos o resultado com três algarismos significativos:
L_{\min}\approx 4,74\\ \text{km}.

Resposta

4,74\\ \text{km}

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