-22 (a) Qual é a soma dos quatro vetores a seguir na notação dos vetores unitários? Para essa soma, quais são (b) o módulo, (c) o ângulo em graus, e (d) o ângulo em radianos?
Passo 1
O enunciado pede a soma vetorial de quatro vetores e, para essa soma, o módulo e o ângulo (em graus e em radianos). Os dados fornecidos (copiados do enunciado) são:
-
com ângulo . -
com ângulo . -
com ângulo . -
com ângulo .
O que o problema pede exatamente:
(a) a soma dos quatro vetores na notação dos vetores unitários (i.e. na forma );
(b) o módulo (comprimento) do vetor soma;
(c) o ângulo dessa soma em graus;
(d) o ângulo dessa soma em radianos.
(a) a soma dos quatro vetores na notação dos vetores unitários (i.e. na forma
(b) o módulo (comprimento) do vetor soma;
(c) o ângulo dessa soma em graus;
(d) o ângulo dessa soma em radianos.
Todas as informações relevantes do enunciado foram listadas acima; seguirei o procedimento padrão de decompor cada vetor em componentes
e
, somar as componentes e então obter módulo e ângulo da resultante.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (passo-a-passo didático):
- Um vetor no plano, com módulo
e direção medida a partir do eixo no sentido anti-horário, tem componentes
Aqui
é o vetor unitário na direção
e
é o vetor unitário na direção
.
- Depois, soma-se componente a componente:
- O vetor resultante é
. - O módulo (comprimento) da resultante é
- O ângulo da resultante (medido a partir do eixo
, sentido anti-horário) pode ser obtido por
Explicação do
: é a função arco-tangente que leva em conta o sinal de
e
para colocar o ângulo no quadrante correto. Se
e
(nosso caso será esse), então
e o resultado fica entre
e
.
Observação prática sobre graus e radianos: as funções trigonométricas podem receber ângulos em graus ou radianos; aqui usarei os ângulos exatamente como dados (alguns em radianos, outros em graus) quando calcular
e
.
Passo 3
Decompor cada vetor em componentes (vou mostrar as contas e as aproximações numéricas com 3 casas decimais onde fizer sentido).
Para
:
,
.
Para
:
,
.
(uso direto funções em graus; ,
.)
(uso direto funções em graus;
Para
:
,
.
Para
:
,
.
(Observação trigonométrica: .
e
, então
.)
(Observação trigonométrica:
Resumo das componentes (arredondando aqui só para visualização; nos cálculos usei os valores mostrados acima com mais dígitos):
Passo 4
Somar componente a componente para obter a resultante
.
Soma das componentes
:
Soma das componentes
:
Portanto a resultante em componentes é
.
Passo 5
Escrever a soma na notação dos vetores unitários:
Para apresentação prática, normalmente arredonda-se para três casas decimais:
Passo 6
Calcular o módulo da resultante usando a fórmula
Substituindo os valores:
Arredondando a três casas decimais,
.
Passo 7
Calcular o ângulo da resultante. Como
e
, o ângulo está no primeiro quadrante e podemos usar
Calcule a razão e o arco-tangente:
Logo
Converter para graus:
Arredondando:
Passo 8
Recapitulando tudo com números arredondados para apresentação final (três casas decimais quando aplicável) e um pouquinho de incentivo: mandou bem em trazer a questão — decompor, somar componentes e usar atan2 é a rotina para esse tipo de problema. Respire fundo que agora dá pra resolver rápido na prova com esse passo-a-passo.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)