-22 (a) Qual é a soma dos quatro vetores a seguir na notação dos vetores unitários? Para essa soma, quais são (b) o módulo, (c) o ângulo em graus, e (d) o ângulo em radianos?
\begin{array}{ll} \vec{E}: 6,00 \mathrm{~m} \mathrm{e}+0,900 \mathrm{rad} & \vec{F}: 5,00 \mathrm{~m} \mathrm{e}-75,0^{\circ} \\ \vec{G}: 4,00 \mathrm{~m} \mathrm{e}+1,20 \mathrm{rad} & \vec{H}: 6,00 \mathrm{~m} \mathrm{e}-210^{\circ} \end{array}

Passo 1

O enunciado pede a soma vetorial de quatro vetores e, para essa soma, o módulo e o ângulo (em graus e em radianos). Os dados fornecidos (copiados do enunciado) são:
  • \vec{E}:\;6{,}00\\ \text{m} com ângulo \;+0{,}900\\ \text{rad}.
  • \vec{F}:\;5{,}00\\ \text{m} com ângulo \;-75{,}0^\circ.
  • \vec{G}:\;4{,}00\\ \text{m} com ângulo \;+1{,}20\\ \text{rad}.
  • \vec{H}:\;6{,}00\\ \text{m} com ângulo \;-210{,}0^\circ.
O que o problema pede exatamente:
(a) a soma dos quatro vetores na notação dos vetores unitários (i.e. na forma A_x\hat{\imath}+A_y\hat{\jmath});
(b) o módulo (comprimento) do vetor soma;
(c) o ângulo dessa soma em graus;
(d) o ângulo dessa soma em radianos.
Todas as informações relevantes do enunciado foram listadas acima; seguirei o procedimento padrão de decompor cada vetor em componentes x e y, somar as componentes e então obter módulo e ângulo da resultante.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (passo-a-passo didático):
  • Um vetor no plano, com módulo V e direção \theta medida a partir do eixo +x no sentido anti-horário, tem componentes
V_x = V\cos\theta,\qquad V_y = V\sin\theta.
Aqui \hat{\imath} é o vetor unitário na direção +x e \hat{\jmath} é o vetor unitário na direção +y.
  • Depois, soma-se componente a componente:
S_x=\sum V_x,\qquad S_y=\sum V_y.
  • O vetor resultante é \vec{S}=S_x\hat{\imath}+S_y\hat{\jmath}.
  • O módulo (comprimento) da resultante é
|\vec{S}|=\sqrt{S_x^{2}+S_y^{2}}.
  • O ângulo da resultante (medido a partir do eixo +x, sentido anti-horário) pode ser obtido por
\theta=\operatorname{atan2}(S_y,S_x).
Explicação do \operatorname{atan2}: é a função arco-tangente que leva em conta o sinal de S_x e S_y para colocar o ângulo no quadrante correto. Se S_x>0 e S_y\ge0 (nosso caso será esse), então \theta=\arctan\!\left(\dfrac{S_y}{S_x}\right) e o resultado fica entre 0 e \tfrac{\pi}{2}.
Observação prática sobre graus e radianos: as funções trigonométricas podem receber ângulos em graus ou radianos; aqui usarei os ângulos exatamente como dados (alguns em radianos, outros em graus) quando calcular \cos e \sin.

Passo 3

Decompor cada vetor em componentes (vou mostrar as contas e as aproximações numéricas com 3 casas decimais onde fizer sentido).
Para \vec{E}: V=6{,}00\\ \text{m}, \theta=0{,}900\\ \text{rad}.
E_x = 6{,}00\cos(0{,}900)=6{,}00\cdot 0{,}6216099683\approx 3{,}72965981
E_y = 6{,}00\sin(0{,}900)=6{,}00\cdot 0{,}7833269096\approx 4{,}69996146
Para \vec{F}: V=5{,}00\\ \text{m}, \theta=-75{,}0^\circ.
(uso direto funções em graus; \cos(-75^\circ)=\cos75^\circ, \sin(-75^\circ)=-\sin75^\circ.)
F_x = 5{,}00\cos(-75{,}0^\circ)=5{,}00\cdot 0{,}2588190451\approx 1{,}29409523
F_y = 5{,}00\sin(-75{,}0^\circ)=5{,}00\cdot(-0{,}9659258263)\approx -4{,}82962913
Para \vec{G}: V=4{,}00\\ \text{m}, \theta=1{,}20\\ \text{rad}.
G_x = 4{,}00\cos(1{,}20)=4{,}00\cdot 0{,}3623577545\approx 1{,}44943102
G_y = 4{,}00\sin(1{,}20)=4{,}00\cdot 0{,}9320390859\approx 3{,}72815634
Para \vec{H}: V=6{,}00\\ \text{m}, \theta=-210{,}0^\circ.
(Observação trigonométrica: \cos(-210^\circ)=\cos(210^\circ)=\cos(180^\circ+30^\circ)=-\cos30^\circ=-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\approx-0{,}8660254038. \sin(-210^\circ)=-\sin210^\circ e \sin210^\circ=-\sin30^\circ=-0{,}5, então \sin(-210^\circ)=+0{,}5.)
H_x = 6{,}00\cos(-210{,}0^\circ)=6{,}00\cdot(-0{,}8660254038)\approx -5{,}19615242
H_y = 6{,}00\sin(-210{,}0^\circ)=6{,}00\cdot 0{,}5 = 3{,}00000000
Resumo das componentes (arredondando aqui só para visualização; nos cálculos usei os valores mostrados acima com mais dígitos):
\begin{aligned} E_x &\approx 3{,}72965981,&\quad E_y &\approx 4{,}69996146,\\\ F_x &\approx 1{,}29409523,&\quad F_y &\approx -4{,}82962913,\\\ G_x &\approx 1{,}44943102,&\quad G_y &\approx 3{,}72815634,\\\ H_x &\approx -5{,}19615242,&\quad H_y &\approx 3{,}00000000. \end{aligned}

Passo 4

Somar componente a componente para obter a resultante \vec{S}.
Soma das componentes x:
\begin{aligned} S_x &= E_x+F_x+G_x+H_x \\\ &\approx 3{,}72965981 + 1{,}29409523 + 1{,}44943102 - 5{,}19615242 \\\ &\approx 1{,}27703363 \end{aligned}
Soma das componentes y:
\begin{aligned} S_y &= E_y+F_y+G_y+H_y \\\ &\approx 4{,}69996146 - 4{,}82962913 + 3{,}72815634 + 3{,}00000000 \\\ &\approx 6{,}59848867 \end{aligned}
Portanto a resultante em componentes é \;S_x\approx 1{,}27703363,\; S_y\approx 6{,}59848867.

Passo 5

Escrever a soma na notação dos vetores unitários:
\vec{S}=S_x\hat{\imath}+S_y\hat{\jmath}\approx 1{,}27703363\\ \hat{\imath}+6{,}59848867\\ \hat{\jmath}\\ \text{(m)}.
Para apresentação prática, normalmente arredonda-se para três casas decimais:
\vec{S}\approx 1{,}277\\ \hat{\imath}+6{,}598\\ \hat{\jmath}\\ \text{(m)}.

Passo 6

Calcular o módulo da resultante usando a fórmula
|\vec{S}|=\sqrt{S_x^{2}+S_y^{2}}.
Substituindo os valores:
\begin{aligned} |\vec{S}| &\approx \sqrt{(1{,}27703363)^{2}+(6{,}59848867)^{2}} \\\ &\approx \sqrt{1{,}6308095 + 43{,}5400605} \\\ &\approx \sqrt{45{,}1708700} \\\ &\approx 6{,}7209\\ \text{m}. \end{aligned}
Arredondando a três casas decimais, |\vec{S}|\approx 6{,}721\\ \text{m}.

Passo 7

Calcular o ângulo da resultante. Como S_x>0 e S_y>0, o ângulo está no primeiro quadrante e podemos usar
\theta=\arctan\!\left(\frac{S_y}{S_x}\right).
Calcule a razão e o arco-tangente:
\frac{S_y}{S_x}\approx \frac{6{,}59848867}{1{,}27703363}\approx 5{,}167409.
Logo
\theta \approx \arctan(5{,}167409)\approx 1{,}37962\\ \text{rad}.
Converter para graus:
\theta_{\text{graus}} = \theta_{\text{rad}}\cdot\frac{180^\circ}{\pi}\approx 1{,}37962\cdot 57{,}2957795\approx 79{,}052^\circ.
Arredondando:
\theta\approx 79{,}05^\circ\quad\text{e}\quad \theta\approx 1{,}3796\\ \text{rad}.

Passo 8

Recapitulando tudo com números arredondados para apresentação final (três casas decimais quando aplicável) e um pouquinho de incentivo: mandou bem em trazer a questão — decompor, somar componentes e usar atan2 é a rotina para esse tipo de problema. Respire fundo que agora dá pra resolver rápido na prova com esse passo-a-passo.

Resposta

(a) \vec{S}\approx 1{,}277\\ \hat{\imath}+6{,}598\\ \hat{\jmath}\\ \text{(m)}
(b) |\vec{S}|\approx 6{,}721\\ \text{m}
(c) \theta\approx 79{,}05^\circ
(d) \theta\approx 1{,}3796\\ \text{rad}

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